Законы логики высказываний

Выше было сказано, что закон логики – это схема (логическая форма), которой присуще следующее свойство: каким бы содержанием мы ее ни наполняли, в результате получим верное, правильное рассуждение. Закон логики высказываний есть частный случай закона логики вообще.

Специфика законов логики высказываний в том, что в качестве значений переменных, входящих в структуру логических форм, выступают отдельные высказывания как целостные образования. И какие бы высказывания ни подставлялись вместо переменных в логический закон, результат будет одним и тем же – полученное сложное высказывание будет истинным.

Очевидно, здесь мы сталкиваемся с трудностью: как установить, что некоторая логическая форма – логический закон, если требуется бесконечное число подстановок? На помощь приходят следующие соображения.

Поскольку мы исходим из допущения, что любое произвольно взятое высказывание либо истинно, либо ложно, то всякая подстановка в логическую форму, образованная с помощью произвольного высказывания, также окажется либо истинной, либо ложной, иное исключено. Поэтому вместо бесконечных подстановок можно ограничится лишь двумя – истинным высказыванием и ложным высказыванием (соответственно значениями
«истинно», «ложно»). А это означает, что для выявления форм, являющихся логическими законами, можно воспользоваться таблицами истинности.

Пример логического закона, о котором речь шла выше, а именно:

Если р, то q; следовательно, если не - q, то не – р

может служить иллюстрацией закона логики высказываний. Поскольку теперь мы знаем, как выражаются символически логические константы «если, то», «неверно, что» и др., то можно дать окончательное выражение этой схемы на языке логики высказываний. В результате получим:

(р ® q)®(Ø q ® Ø р)

Испытаем эту схему с помощью табличным способом
(см. таблицу 4).

Таблица 4.

р	q	(р ® q)®(Ø q ® Ø р)
и	и	и
л	и	и
и	л	и
л	л	и

 

Как видим, независимо от того, какие высказывания – истинные или ложные (1-й и 2-й столбцы таблицы) – заменяют переменные в данной схеме, т.е. какие логические значения
(«истинно», «ложно») принимают ее переменные, она всегда порождает истинные сложные высказывания. Это означает, что она является логическим законом. Обобщенный вид этого закона:

(A ® B) ® (ØB ® Ø A),

где A, B – переменные для любых (как простых, так и сложных) высказываний.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются законы, которые можно выразить с по м ощью одной пере м енной. Это закон исключенного третьего, закон противоречия, закон тождества, закон удаления двойного отрицания, введения двойного отрицания и др.

Закон исключенного третьего – это схема A ÚØ A. Если в эту форму вместо A подставить какое-либо высказывание, то в результате всегда получим сложное истинное (хотя и банально звучащее) высказывание. Например, если вместо A подставим высказывание «Франциск Скорина жил в Минске», то получим сложное высказывание «Франциск Скорина жил или не жил в Минске», и каждый согласится, что оно истинно.

Согласно закону исключенного третьего, два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе ложными, выполняется одна из возможностей: если ложно одно из этих высказываний, то истинно его отрицание, а что-либо третье исключено. Поэтому в процессах рассуждений, если установлена ложность некоторого высказывания, можно смело утверждать об истинности высказывания, которое его отрицает.

Законом противоречия называется форма Ø(A Ù Ø A). Она тоже порождает только истинные сложные высказывания. Например: «Неверно, что Франциск Скорина жил и не жил в Минске». В соответствии с законом противоречия два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе истинными, одно их них ложно. Отсюда – опасность, связанная с использованием отрицающих друг друга высказываний: кто пользуется схемой A Ù Ø A, т.е. допускает противоречие, тот вводит в свои рассуждения заведомо ложное положение или идет на обман.

Согласно закону тождества – A«A – всякое высказывание является эквивалентным (тождественным) самому себе, следовательно, в правильном рассуждении оно согласуется с самим собой. Рассогласованность в смыслах используемых высказываний чревата серьезными ошибками.

Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается, что утверждается это высказывание без всякого отрицания. Так, говоря: «Неверно, что Иванов не виноват», мы тем самым утверждаем: «Иванов виноват». Отсюда ясна справедливость закона удаления двойного отрицания – ØØ A ® A.

Столь же приемлемо и обратное положение – A ® ØØ A, называемое законом введения двойного отрицания.

Справедливость рассмотренных законов с одной переменной легко проверяется табличным способом (см. таблицу 5).

Таблица 5

A

A Ú Ø A

Ø (A Ù Ø A)

A «A

ØØ A ® A

A ® Ø A

и

и

и

и

и

и

л

и

и

и

и

и

 

Сложнее структура законов с более чем одной пере м енной. Перечислим наиболее употребительные законы с двумя переменными:

(1) (A Ù B) ® (B Ù A);

(2) (A Ù B) ® A;

(3) (A Ù B) ® B;

(4) A ® (B ® (A Ù B));

(5) (A ® B) ® (Ø B ® Ø A);

(6) ((A ® B) Ù A) ® B;

(7) (A ® B) ® Ø(A Ù Ø B);

(8) (A Ú B) ® (B Ú A);

(9) (A Ú B) ® (Ø A ® B);

(10) (A «B) ® (B «A);

(11) (A «B) ® (A ® B);

(12) (A «B) ® (B ® A);

(13) ((A ® B) Ù (B ® A)) ® (A «B);

(14) Ø(A Ú B) «(Ø A Ù Ø B);