Системы линейных алгебраических уравнений

 

Рассмотрим систему из 3-х алгебраических уравнений с 3-мя неизвестными:

(1.1)

 

 

Метод Крамера

 

Теорема 3. Если определитель матрицы системы (1.1)

отличен от нуля (), то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

где

, , .

 

Матричный метод

 

Обозначим через матрицу системы (1.1), т.е. матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

,

через – матрицу-столбец из неизвестных и через – матрицу-столбец правых частей.

Принимая во внимание правило умножения матриц, можно систему линейных уравнений (1.1) записать в виде матричного уравнения:

 

,

 

решение которого имеет вид

 

.

Пример 7. (Образец выполнения задачи 1 из контрольной работы) Решить систему уравнений двумя способами:

.

Решение. Используем метод Крамера:

 

Тогда

Проверим правильность полученных решений, для чего подставим их в условие:

 

Теперь решим ту же систему матричным методом. Найдем обратную матрицу к матрице системы . Вычислим все алгебраические дополнения:

; ; ;

; ; ;

; ; .

 

Определитель матрицы найден выше (фактически это ) и равен -12.

Следовательно, . Тогда

.

 

Ответ: .n

Замечание 1. Метод Крамера и матричный метод применимы для систем любого конечного порядка при двух условиях: количество уравнений совпадает с количеством неизвестных и определитель системы отличен от нуля.

Замечание 2. Если определитель системы равен нулю, то система либо не имеет решений вообще, либо имеет бесконечное множество решений.

 

 

Метод Гаусса

 

Как было отмечено выше, метод Крамера и матричный метод имеют один существенный недостаток: они неприменимы, если определитель системы равен нулю. В связи с этим, рассмотрим еще один, наиболее универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.

 

Пусть число уравнений системы совпадает с числом неизвестных1.

(1.2)

 

Расширенной матрицей системы (1.2) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов:

 

 

(1.3)

 

Расширенная матрица системы называется верхнетреугольной, если в матрице системы все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

(1.4)

 

Расширенную матрицу системы мы будем называть диагональной, если матрица системы представляет собой единичную:

(1.5)

 

К элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы относятся преобразования трех типов:

 

1) Перемена местами любых двух строк:

.

 

2) Умножение любой строки на любое число, отличное от нуля

.

 

3) Прибавление к любой строке любой другой, умноженной на произвольное число:

.

 

Известно, что элементарные преобразования расширенной матрицы системы приводят к эквивалентной матрице, т.е. система линейных алгебраических уравнений, соответствующая полученной матрице, имеет те же решения, что и исходная.

Идея метода Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований от расширенной матрицы системы вида (1.3) перейти вначале к верхнетреугольной матрице (1.4) (прямой ход метода Гаусса), а затем и к диагональной (1.5) (обратный ход метода Гаусса).

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы не возникло ни одной нулевой строки (это соответствует тому, что определитель исходной системы отличен от нуля), то система имеет единственное решение. Его легко найти, исходя из диагонального вида: .

 

Продемонстрируем на примерах технику использования элементарных преобразований.

 

Пример 8. Решить систему уравнений .

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Выберем в первом столбце ведущий элемент, т.е. элемент, с помощью которого удобно будет сделать нули под ним. Таким числом является единица. Поменяем местами первую и третью строки ( элементарное преобразование 1-го вида):

С помощью элементарных преобразований 3-го типа делаем нули под ведущим элементом ():

 

.

 

Теперь выбираем ведущий элемент во втором столбце. Поскольку пока единицы нет, то её желательно создать. Для этого из второй строки вычтем удвоенную третью ():

.

Делаем нуль под ведущим элементом ():

.

Умножим третью строку на ( – элементарное преобразование 2-го типа):

.

Мы получили матрицу верхнетреугольного вида. Переходим к обратному ходу метода Гаусса. В качестве ведущего элемента выбираем единицу, стоящую в третьем столбце. Делаем нули над ней ():

.

Последний шаг. С помощью единицы во втором столбце зануляем элемент над ней ():

.

Получена матрица диагонального вида. Проверку полученного решения сделайте самостоятельно. Ответ: .n

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы возникает хотя бы одна нулевая строка (это означает, что определитель исходной системы равен нулю), то система либо не имеет решения вовсе, либо имеет бесчисленное множество решений.

 

Пример 9. Решить систему уравнений

 

Решение.

 

Распишем последнюю строку полученной матрицы в виде уравнения:

Очевидно, что это уравнение, а значит и вся система, решений не имеет. n

 

Пример 10. Решить систему уравнений .

Решение.

 

.

 

В отличие от предыдущего примера, последняя строка непротиворечива. Она указывает на то, что третье уравнение системы является следствием первых двух. Таким образом, мы, фактически, получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы их найти, одну из переменных (её называют свободной) переносят в правую часть расширенной матрицы, а остальные переменные (их называют базисными или связными) выражают через эту свободную. Имеем

.

Таким образом, .

Это общее решение системы. Присваивая свободной переменной конкретные значения, можно получать частные решения, например,

и т.д.

Ответ: .n

Отметим ещё одно достоинство метода Гаусса. Для систем линейных уравнений 4-го порядка и выше метод Гаусса оказывается эффективнее метода Крамера и матричного метода и приводит к решению гораздо быстрее.

 

Пример 11. Решить систему уравнений

.

Решение.

 

 

 

 

 

Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ: .n

 

Ранг матрицы

 

Рассмотрим матрицу размера Вычеркиванием каких–либо строк или столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -го порядка, где Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы .

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначают ранг матрицы обычно или .

Свойства ранга матрицы

1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

2) тогда и только тогда, когда – нулевая матрица.

3) Если – квадратная матрица -го порядка, то тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

 

Нахождение ранга матрицы, используя непосредственно определение, довольно громоздко и трудоемко.

 

Теорема 4. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.

 

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к верхнетреугольному виду:

 

,

 

где , ; . Ранг верхнетреугольной матрицы равен .

 

Пример 12. Найти ранг матрицы .

 

Решение. Используя технику элементарных преобразований (как в методе Гаусса), получим верхнетреугольную матрицу:

Таким образом, .n

 

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (столбцов).

Строка (столбец) называются линейно зависимыми, если хотя бы одна из строк (столбцов) линейно выражается через остальные. В противном случае, строки (столбцы) называются линейно независимыми (подробнее читайте в п. 1.6.1).

 

Теорема 5. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).