Расчет переходного процесса в линейной цепи синусоидального тока.

3.1. Классический метод расчета.

Порядок расчета классическим методом был описан в пп.2.1.

 

3.1.1. Послекоммутационная схема (рис. 4) и уравнения Кирхгофа (1) практически не изменяются по сравнению с п.2.1.

Единственным исключением является появление синусоидальных источников e ₁(t), J (t) вместо постоянных источников.

Узел :

Узел ‚:

Узел ƒ: (8)

Контур I:

Контур II:

 

3.1.2. Характеристическое уравнение и его корни зависят только от конфигурации цепи после коммутации и ее пассивных параметров, то есть остаются неизменными по сравнению с п.2

 

3.1.3. Не изменяется и общий вид решения

 

3.1.4. Установившееся значение i_Lуст (t) и u_Cуст (t) будут синусоидальными функциями времени, так как источники схемы e ₁(t) и J (t) – синусоидальны.

Расчет установившегося режима в схеме после коммутации будем проводить комплексным методом так как установившийся режим – синусоидальный. Комплексная схема после коммутации приведена на рис. 15.

рис. 15

 

В схеме рис. 15

, , ,

, , , ,

Уравнение Кирхгофа в комплексной форме для схемы рис. 15 имеют вид:

 

В матричной форме:

 

Результаты расчета в системе MathCAD приведены ниже

 

 

 

 

 

 

Представление i_Lуст (t) и u_Cуст (t) в виде суммы синусоиды и косинусоиды удобно при сравнении этих значений в операторном методе.

 

3.1.5. При расчете ННУ необходимо рассчитать докоммутационный установившийся синусоидальный режим в комплексной схеме до коммутации (рис.16)

рис. 16

Уравнения Кирхгофа для этой схемы имеют вид:

 

В матричной форме

Результаты расчета в системе MathCAD приведены ниже

 

 

,

В результате расчета докоммутационного установившегося синусоидального режима получим:

→

→

Следовательно ННУ для схемы при синусоидальных источниках

 

 

3.1.6. При определении ЗНУ можно использовать уравнения из п.2.6.

В этих уравнениях уже известны, что следует из законов коммутации. Значение J (0) и e ₁(0) находятся из аналитических выражений этих синусоидальных источников, записанных при

,

Решение в системе MathCAD дает:

 

i 1(0)

iC (0)

i 5(0)

i 6(0)

uL (0)

 

Следовательно

Тогда

 

3.1.7. Постоянные интегрирования A ₁, A ₂, B ₁, B ₂ находятся по найденным ННУ, ЗНУ и i_Lуст (0), u_Cуст (0).

В представленных системах уравнений

 

,

что следует из выражений

 

 

записанных при

Решение записанных систем дает:

,

,

 

3.1.8. Окончательные выражения для i_L (t) и u_C (t)

 

 

3.1.9. Ток в ветви без реактивных элементов

 

 

Графики рассчитанных i_L (t), u_C (t), i ₅(t) классическим методом приведены на рис. 17, 18.

 

 

рис.17

рис.18

3.2. Операторный метод расчета переходного процесса в цепи с синусоидальными источниками.

Операторная послекоммутационная схема не изменится по сравнению с п.2.2

Изображения синусоидальных источников e ₁(t) и J (t) по Лапласу имеют вид:

,

С учетом исходных данных цепи

 

 

Числовые значения дополнительных источников операторной схемы

 

 

Уравнения для операторных контурных токов по аналогии с п.2.2 принимают вид, с учетом:

 

 

После подстановки числовых значений исходных данных:

 

 

Используя решающий блок GIVEN…FIND системы MathCAD, получим

 

Корни

 

Результаты расчета классическим и операторным методами совпадают.

 

3.3. Расчет переходного процесса при синусоидальных источниках численными методами.

 

3.3.1. Явный метод Рунге-Кутта 4ого порядка

Воспользуемся стандартной процедурой системы MathCAD rkfixed(X,TO,Tmax,N,d) как и в случае, представленном в п.2.3.1. Система дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши остается неизменной, как и в п.2.3.1, за исключением источников схемы. Вместо постоянных источников e ₁ и J необходимо использовать синусоидальные источники, являющиеся функциями времени

,

.

Таким образом, получим

 

 

где

 

 

Постоянные a ₁, b ₁, a ₂, b ₂ остаются неизменными, как и в п.2.3.1. В качестве начальных условий взяты значения, рассчитанные ранее (п.3.1)

,,

Графики i_L (t) и u_C (t) приведены на рис. 19

 

Ток в индуктивности

Напряжение на емкости

рис.19

Длительность переходного процесса T_max можно оценить по значению вещественной части корня характеристического.

Тогда

 

3.3.2. Метод дискретных резистивных схем

 

Расчет переходного процесса численным методом на основе дискретной схемы при синусоидальных источниках e ₁(t) и J (t) практически не отличается от аналогичного расчета при постоянных источниках (п. 2.3.2)

В качестве начальных значений неизвестных i ₁(0), i_L (0), i_C (0), i ₅(0), i ₆(0), u_C (0) необходимо взять рассчитанные ННУ и ЗНУ из пп. 3.1.5, 3.1.6.

,

,

,

,

,

,

Начальные значение дополнительных источников

,

,

,,

Δ t – выбирается в пределах 10^-4 – 10^-6 сек.

Начальные значения синусоидальных источников

,

 

Начальное значение тока

 

 

 

 

 

 

 

рис.20

Результаты расчета аналитическими методами (классическим и операторным) и численными методами (Рунге-Кутта и с помощью дискретной схемы) совпадают (рис. 17, 18, 19, 20).