Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Уравнение вида

называется общим уравнением прямой.

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или .

Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или ;

уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox.

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy. Если в общем уравнении прямой , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом

где угловой коэффициент,

a – угол, образованный прямой с положительным направлением оси , – свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью .

Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , определяется по формуле

Если в общем уравнении прямой , то разделив (1) на , получаем уравнение прямой в отрезках

,

 

где , . Прямая пересекает ось в точке , ось в точке .

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают. Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде: (12) Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12). Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12): 1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны; 3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают. Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

21. Различные виды уравнения плоскости

 

Плоскость в пространстве можно задать различными способами (точкой и век-тором, перпендикулярном плоскости, тремя точками и т. д.), в зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору. Ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости, называют ее нормальным вектором. Если дана точка И нормальный вектор Плоскости, то ее уравнение имеет вид (4.9) В этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора Равенство (4.9) выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов: Где - любая точка плоскости (рис. 4.3). Общее уравнение плоскости. Уравнение первой степени относительно декартовых координат (4.10) Где Одновременно в нуль не обращаются, т. е. (4.11) Определяет плоскость в пространстве. Уравнение (4.10) называется общим уравнением плоскости. Отметим частные случаи этого уравнения. Если , то уравнение (4.10) принимает вид И определяет плоскость, проходящую через начало координат (рис. 4.4, а; координаты _ Удовлетворяют данному уравнению).? Если , то уравнение (4.10) принимает вид Н определяет плоскость, параллельную оси (рис. 4.4, б); нормальный вектор Перпендикулярен оси , ибо Если То уравнение (4.10) принимает вид И определяет плоскость, проходящую через ось (рис. 4.4, в; плоскость параллельна оси И проходит через начало координат; в этом случае В силу условия (4.11)). Если То уравнение (4.10) принимает вид Или И определяет плоскость, параллельную плоскости Или перпендикулярную оси Ох (рис. 4.4, г; нормальный вектор Перпендикулярен плоскости ). Если То уравнение (4.10) принимает вид Или (так как ) И определяет координатную плоскость Замечание. Если в уравнении (4.10) свободный член равен нулю (), то плоскость проходит через начало координат; если коэффициент прн одной из текущих координат равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси (например, если , то плоскость параллельна оси ); еелк в нуль обращаются свободный член и один из коэффициентов при текущей координате, то плоскость проходит через соответствующую ось (если Н , то плоскость Проходит через ось ); если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости (когда Плоскость параллельна шЮскостн ); если обращаются в нуль свободный член и два коэффициента при текущих координатах, то плоскость совпадает с соответствующей координатной плоскостью (когда плоскость совпадает с плоскостью < ). Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат. Если все коэффициенты уравнения (4.10) и его свободный член отличны от нуля, то уравнение можно привести к виду (4.12) Где Числа Означают величины направ- Ленных отрезков, отсекаемых на осях координат. Этим объясняется название данного вида уравнения плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Уравнение (4.13) Где - углы, образованные нормальным вектором плоскости с координат Ными осями Соответственно, - длина перпендикуляра, опушенного Из начала координат на плоскость, называется нормальным (или нормированным) уравнением плоскости. Чтобы привести общее уравнение плоскости к виду (4.13), необходимо умножить его на нормирующий множитель Где знак выбирается противоположным знаку После умножения уравнения (4.10) на число Получаем нормированное уравнение плоскости Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если даны три точки Не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид (4.14) Равенство (4.14) выражает необходимое и достаточное условие (см. (3.36)) компланарности трех векторов Где — любая точка данной плоскости (рис. 4.5). Уравнение плоскости, проходящей через две точки и параллельной данному вектору. Если задан вектор И две точки Причем векторы И . неколлицеарны (рис. 4.6), то уравне- Ние плоскости, проходящей через эту точку параллельно вектору а, имеет вид (4-15) Равенство (4.15) выражает необходимое и достаточное, условие компланарности трех векторов - любая точка данной rmoikOtm Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум неколлннеарным векторам. Бели даны два неколлинеарных вектора (рис. 4.7) И точка : то уравнение плос Кости, проходящей через данную точку параллельно векторам а и Ь, имеет вид (4.16) Равенство (4.16) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов: Где - произвольная точка данной плоскости. Параметрические уравнения плоскости. Если даны два неколлинеарных вектора И точка То параметрические уравнения плоскости, проходящей через эту точку параллельно данным векторам, имеют вид (4-17) Уравнения (4.17) следуют из равенства Где -   Любая точка плоскости (равенство Означает, что любой вектор Можно разложить по векторам ).
Исследование общего уравнения плоскости
Уравнение , где , и - координаты нормального вектора , называется общим уравнением плоскости. Рассмотрим различные случаи расположения плоскости в зависимости от коэффициентов в ее общем уравнении. 1. ; из этого следует, что скалярное произведение , то есть вектор перпендикулярен оси , а плоскость параллельна оси . 2. ; , то есть вектор перпендикулярен оси , а плоскость параллельна оси . 3. ; , то есть вектор перпендикулярен оси , а плоскость параллельна оси . 4. ; в этом случае уравнение плоскости имеет решение , или точка принадлежит плоскости. 5. и ; плоскость параллельна координатным осям и , а тогда она параллельна координатной плоскости . 6. и ; плоскость параллельна координатным осям и , а тогда она параллельна координатной плоскости . 7. и ; плоскость параллельна координатным осям и , а тогда она параллельна координатной плоскости . 8. и ; плоскость параллельна координатной оси и проходит через начало координат, то есть проходит через координатную ось . 9. и ; плоскость параллельна координатной оси и проходит через начало координат, то есть проходит через координатную ось . 10. и ; плоскость параллельна координатной оси и проходит через начало координат, то есть проходит через координатную ось .