Векторы и действия над ними

В геометрии под вектором (в узком смысле слова) понимается всякий направленный отрезок. Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать символом . Часто векторы обозначают одной буквой, например, . Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. К линейным операциям над векторами относят операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пример 2.1. По двум заданным векторам и построить векторы и , если и приведены на рисунке.

Решение. Чтобы сложить векторы, нужно совместить параллельным переносом начало и конец этих векторов. Тогда суммой этих векторов будет вектор, соединяющий начало первого и конец второго вектора (правило треугольника). Векторы можно сложить также по правилу параллелограмма, совместив начала этих векторов. Суммой векторов, в этом случае, будет диагональ параллелограмма, выходящая из начала векторов.

Разностью двух векторов и называется сумма , т.е. чтобы вычесть из вектора вектор , достаточно прибавить к вектору вектор (– ). Отметим, что если на векторах и построить параллелограмм, то одна его диагональ равна сумме , а вторая – разности .

Система векторов , ,..., называется линейно зависимой, если найдется хотя бы одно не равное нулю число k ₁, k ₂ ,..., k_n, чтобы выполнялось равенство . Если данное равенство может выполняться только при условии, что все числа k ₁, k ₂ ,..., k_n равны нулю, то такая система векторов называется линейно независимой. В частности, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы; любые три компланарных вектора линейно зависимы; любые четыре 3-х мерных вектора линейно зависимы.

Линейно-независимые векторы образуют базис для какого-либо множества векторов, если любой вектор из этого множества может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации исходных векторов.

Пусть какая-нибудь тройка векторов образует базис в пространстве. Тогда любой вектор пространства можно разложить и притом единственным образом по этому базису:

. (2.1)

Числа a ₁, a ₂, a ₃ называются координатами вектора в базисе векторов , что обозначается . Значение координат состоит в том, что операции над векторами можно сводить к действиям над числами. Тогда при сложении векторов будут складываться их соответствующие координаты, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число и т.д.

Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство . Если векторы заданы в координатной форме, то условие коллинеарности будет иметь вид

(2.2)

Пример 2.2. Коллинеарны ли векторы и , если и .

Решение. Найдем координаты векторов и :

,

.

Из условия пропорциональности

.

заключаем, что векторы и коллинеарны, причем .

Пример 2.3. Показать, что векторы образуют базис. Найти разложение вектора по этому базису, если , , ,

Решение. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов (смешанное произведение векторов) не равен нулю. Поскольку

,

то векторы образуют базис. Следовательно, вектор можно разложить по этому базису:

.

Найдем числа a, b, g. Для этого векторное уравнение распишем по координатам:

,

или

.

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Отсюда получаем систему уравнений:

Таким образом, искомое разложение имеет вид

.

Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения: . Координаты вектора в таком базисе обычно обозначаются буквами x, y, z: . Длина вектора в ортонормированном базисе равна

(2.3)