Из теоремы Чебышева следует

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда для любого ε >0, будет выполнено неравенство

,

где - относительная частота появления события А.

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и относительной частотой его появления. Кроме этого, она позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытаниях.

Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе повторных независимых испытаний, в каждом из которых возможно появление события А, практически достоверно, что относительная частота появления этого события (случайная величина) как угодно мало отличается от некоторой неслучайной величины – вероятности события А. Таким образом, в этой ситуации относительная частота перестает быть случайной.

Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование для статистического определения вероятности некоторого события и позволяет обосновать широкое применение на практике вероятностных методов исследования.

При доказательстве теоремы Бернулли выводится неравенство, которое часто применяется на практике.

Следствие 3. Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом n для произвольного положительного ε справедливо неравенство

, (1.7)

где m – число появлений события А в n испытаниях, q =1- p.

Пример 1.3. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Оценить вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение. Из условия задачи следует, что n =1000; ε =0,01; р =0,03; q =1- р =0,97. Применяя формулу (1.7), получим

.

Таким образом, вероятность будет не меньше 0,709. ■

Пример 1.4. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р =0,7?

Решение. По условию задачи имеем ε =0,2; р =0,7; q =1- р =0,3. Требуется определить n с помощью неравенства (1.7). Условие Р >0,96 равносильно неравенству , откуда .

Следовательно, требуется 132 испытания. ■

Теорема Бернулли имеет обобщение в виде теоремы Пуассона, в которой предполагается, что вероятности событий в каждом испытании могут быть различны.

Теорема Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятности появления события А равны р ₁, р ₂, …, р _n соответственно. Тогда для любого ε >0, будет выполнено неравенство

, (1.8)

где - относительная частота появления события А.

Теорема Пуассона значительно реже применяется на практике, чем теорема Бернулли. Однако она незаменима при нахождении приближенного значения средней вероятности события А в серии опытов, если при проведении этой серии одинаковость условий трудно гарантировать.