Напряжения при растяжении и сжатии

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение. Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади. Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении (рис.32.).

Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжение при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. По этому напряжение можно рассчитать по формуле:

 

где Nz - продольная сила; А - площадь поперечного сечения.

Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 33а), а при сжатии к сечению (рис. 336).

Размерность (единица измерения) напряжений - (Па), однако это слишком малая единица, и практически напряжения рассчитывают в
При определении напряжений брус разбивают На участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений. Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчёт оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Строится и оформляется такая же эпюра, как и эпюра продольных сил.

При растяжении и сжатии бруса меняются его продольные и поперечные размеры (рис.2.4).

Рис. 2.4

При растяжении:

Длина бруса меняется на (удлинение),

Ширина бруса меняется на (сужение).

При сжатии:

(укорочение)

(увеличение

Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией:

или, если представить в другом виде:

где Е - модуль продольной упругости.

Это физическая постоянная материала, характеризующая его способность сопротивляться упругому деформированию.

EF - жесткость поперечного сечения бруса при растяжении-сжатии.

абсолютная деформация (см, м) относительная деформация безразмерная коэффициент поперечной деформации, коэффициент Пуассона l продольная продольная b поперечная поперечная

 

Пусть в результате деформации первоначальная длина стержня l станет равной. l 1. Изменение длины

называется абсолютным удлинением стержня.

Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называется относительным удлинением ( – эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:

При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.

Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:

.

Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона иликоэффициентом поперечной деформации, вычисляется по формуле:

Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах . Например, для пробки , для каучука , для стали , для золота .

5. Определение перемещений в стержне при растяжении-сжатии.

 

При растяжении - сжатии относительная продольная деформация в каждой

точке поперечного сечения стержня одна и та же и определяется как

 

 

где и - продольное перемещение поперечного сечения. Из

данного равенства du = zdx. Интегрируя его

(10)

где м₀ - перемещение начального поперечного сечения стержня; и - перемещение рассматриваемого поперечного сечения, положение которого определяется координатой х; л:₀- координата начального поперечного сечения.

По закону Гука при растяжении-сжатии где Е - модуль упругости

1-го рода материала стержня. Обозначим - изменение длины

стержня для рассматриваемого поперечного сечения. Тогда (10) примет вид

Если свойства материала по длине стержня не изменяются и Е const, то

. (12)

Функция нормальных напряжений а, как правило, имеет разрывы при переходе с одного участка на другой (рис.7,6) и непрерывна в пределах каждого участка. Поэтому, если рассматриваемое сечение (рис. 7,в) находится в пределах первого участка 0<х<а (0<Jtj < я), то изменение длины стержня

в данном поперечном сечении равно (учитываем, что а, = const)

Если рассматриваемое сечение (рис. 7,г) находится в пределах 2-го участка, то изменение длины стержня в данном поперечном сечении равно (учитываем, что ст₂ ~ const)

(14)

 

6. Диаграмма растяжения и механические характеристики материала.

 

Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.

Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).

Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.

Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах (например УММ-20 или МИ-40КУ) и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.

На рис. 1 показана диаграмма для малоуглеродистой стали. Она построена в системе координат F-Δl, где:

F - продольная растягивающая сила, [Н];

Δl - абсолютное удлинение рабочей части образца, [мм]

Рис. 1 Диаграмма растяжения стального образца

Как видно из рисунка, диаграмма имеет четыре характерных участка:

I - участок пропорциональности;

II - участок текучести;

III - участок самоупрочнения;

IV - участок разрушения.

 

Рассмотрим подробнее процесс построения диаграммы.

В самом начале испытания на растяжение, растягивающая сила F, а следовательно, и деформация Δl стержня равны нулю, поэтому диаграмма начинается из точки пересечения соответствующих осей (точка О).

На участке I до точки A диаграмма вычерчивается в виде прямой линии. Это говорит о том, что на данном отрезке диаграммы, деформации стержня Δl растут пропорционально увеличивающейся нагрузке F.

После прохождения точки А диаграмма резко меняет свое направление и на участке II начинающемся в точке B линия какое-то время идет практически параллельно оси Δl, то есть деформации стержня увеличиваются при практически одном и том же значении нагрузки.

В этот момент в металле образца начинают происходить необратимые изменения. Перестраивается кристаллическая решетка металла. При этом наблюдается эффект его самоупрочнения.

После повышения прочности материала образца, диаграмма снова "идет вверх" (участок III) и в точке D растягивающее усилие достигает максимального значения. В этот момент в рабочей части испытуемого образца появляется локальное утоньшение (рис. 2), так называемая "шейка", вызванное нарушениями структуры материала (образованием пустот, микротрещин и т.д.).

Рис. 2 Стальной образец с "шейкой"

Вследствие утоньшения, и следовательно, уменьшения площади поперечного сечения образца, растягиваещее усилие необходимое для его растяжения уменьшается, и кривая диаграммы "идет вниз".

В точке E происходит разрыв образца. Разрывается образец конечно же в сечении, где была образована "шейка"

Работа затраченная на разрыв образца W равна площади фигуры образованной диаграммой. Ее приближенно можно вычислить по формуле:

W=0,8F_max ⋅ Δl_max

По диаграмме также можно определить величину упругих и остаточных деформаций в любой момент процесса испытания.

Для получения непосредственно механических характеристик металла образца диаграмму растяжения необходимо преобразовать в диаграмму напряжений.

 

7.

8. Понятия о допускаемых напряжениях и деформациях при растяжении и сжатии. Условия прочности и жёсткости. Три вида расчетов на прочность и жесткость.

 

Допускаемые напряжения – это наибольшие напряжения, которые можно допустить в конструкции при условии его безопасной, надежной и долговечной работы.

Как показывают механические испытания (испытания на растяжение и сжатие), разрушение хрупких материалов начинается, когда напряжения в сечении элемента конструкции превысят величину временного сопротивления (предела прочности) σ_в. Поэтому для хрупких материалов, деформация которых, как правило, незначительна, за опасное (предельное) напряжение следует принимать именно предел прочности σ_в:

σ_о = σ_в.

Для пластичных материалов за опасное (предельное) напряжение следует принимать предел текучести σ_т (или условный предел текучести σ_0,2, если площадка текучести отсутствует), так как за пределом текучести в пластичных материалах возникают значительные пластические деформации, приводящие при сбросе нагрузки до нуля к появлению остаточных напряжений, следовательно:

σ_о = σ_т .

Естественно, что эти опасные напряжения не могут быть использованы в качестве допускаемых. Их следует уменьшить настолько, чтобы в эксплуатационных условиях действующие напряжения гарантированно были меньше опасных, а деформации были упругими. Таким образом, допускаемое напряжение может быть определено по формуле σо

где σ_о – опасное напряжение; n – коэффициент запаса прочности.

Рассмотрим условия прочности и жесткости для случаев простого растяжения (сжатия). Опасность наступления разрушения характеризуется величинами наибольших нормальных и касательных напряжений, возникающих при нагружении в опасных (т. е. наиболее напряженных) точках сечения. Очевидно, что реальные материалы не могут выдерживать сколь угодно большие напряжения. Поэтому величины наибольших напряжений из условия надежности работы детали необходимо ограничивать некоторыми допустимыми значениями, такими, чтобы деталь испытывала только упругие деформации. Их называют допускаемыми напряжениями. При растяжении и сжатии допускаемые напряжения обозначают [σ₊], [σ_–] соответственно (принято также обозначение σ _adm).

Если из расчета известны максимальные и минимальные (по алгебраической величине) напряжения, возникающие в опасном сечении детали, то условия прочности могут быть записаны следующим образом:

Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, что характерно для пластичных материалов (более строго–для материалов в пластичном состоянии), а значит [σ₊]=[σ_–]=[σ], то

 

и условие прочности при растяжении (сжатии) запишем в виде:

 

 

В некоторых случаях для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей нужно выбирать так, чтобы обеспечивалось условие жесткости, то есть ограничить предельные деформации (перемещения) элементов конструкции.

Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет следующий общий вид:

 

где∆ l – изменение размеров детали; [∆ l ] – допускаемая величина этого изменения.

 

Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем виде определяется как алгебраическая сумма величин ∆ l по участкам

 

условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:

 

Используя условие прочности, можно решать три типа задач:

1) проектировочный расчет – по известным нагрузкам для известного материала найти надежные с точки зрения прочности размеры поперечного сечения стержня (спроектировать прочную деталь);

2) проверочный расчет – по заданным размерам и материалу детали проверить, может ли она выдержать приложенную нагрузку;

3) расчет по несущей способности (грузоподъемности) – по известным размерам детали, материалу и схеме нагружения определить допустимую величину нагрузки на деталь.

 

9. Напряжения и деформации при сдвиге. Условие прочности.

 

Сдвиг (срез) – вид деформации, при котором одна часть стержня смещается относительно другой (скользит). Сдвиг, как вид нагружения, встречается редко и имеет место в заклепочных и сварных соединениях. Деформация сдвига происходит в случае, если к стержню приложены две равные по модулю противоположно направленные силы P, перпендикулярные к его продольной оси. Расстояние между этими силами должно быть малым, чтобы можно было пренебречь моментом, создаваемым силами.

 

Рис. 16. Расчетная схема при сдвиге

Используя метод сечений (разрезая стержень между силами P), можно установить, что в поперечном сечении стержня возникает только одно внутреннее усилие – поперечная сила Q.

Такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только поперечная сила, называют чистым сдвигом.

Мера скольжения одного поперечного сечения относительно другого – касательные напряжения τ.

Принято, что касательные напряжения распределены по всей площади поперечного сечения равномерно. Если в поперечном сечении стержня площадью A возникает внутренняя поперечная сила Q = P, то касательные напряжения в любой точке этого сечения будут равны: T = Q/A = P/A.

Рис. 17. Чистый сдвиг

При чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние, тогда напряжения, действующие на площадке составляющей угол α с вертикальной исходной площадкой равны:

Касательные напряжения τ, приведенные на рис. 17, по абсолютной величине больше касательных напряжений по любым другим площадкам. Таким образом, они являются экстремальными, а площадки, по которым они действуют – площадками сдвига. Так как по этим площадкам не действуют нормальные напряжения, то их называют площадками чистого сдвига и они образуют с главными площадками углы, равные 45°.

При чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.

Касательные напряжения τ измеряются в таких же единицах, что и нормальные напряжения: мегапаскалях, килоньютонах на квадратные сантиметры, килограммах силы на квадратный сантиметр (МПа, кН/см2, кгс/см2) и т.п.

В результате сдвига одно поперечное сечение стержня смещается относительно другого на величину δ, называемую абсолютным сдвигом.

Рис. 18. Углы сдвига

10. Напряженное состояние и закон гука при сдвиге

 

Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q — сила, действующая вдоль грани, F — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: s₁= — s₃ = t; s₂= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45^о.

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб. d — абсолютный сдвиг,

g» — относительный сдвиг или угол сдвига.

Закон Гука при сдвиге: g = t/G или t = G×g.

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е — модуль упругости, m— коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=а×F — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

 

11. Определение напряжений при кручении круглых валов. Условие прочности.

 

Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде

где - берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют такие результаты:

- из второй теории прочности

- из теории Мора

Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге получим:

- по третьей теории прочности

- по четвертой теории прочности

Как следует из закона парности касательных напряжений, одновременно с касательными напряжениями, действующими в плоскости поперечного сечения вала, имеют место касательные напряжения в продольных плоскостях. Они равны по величине парным напряжениям, но имеют противоположный знак. Таким образом, все элементы бруса при кручении находятся в состоянии чистого сдвига. Так как чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния, при котором , то при повороте граней элемента на 45⁰ в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, равные по величине (рис.5.8).

Рассмотрим возможные виды разрушения валов, изготовленных из различных материалов при кручении. Валы из пластичных материалов чаще всего разрушаются по сечению, перпендикулярному к оси вала, под действием касательных напряжений, действующих в этом сечении (рис.5.9,а). Валы из хрупких материалов, разрушаются по винтовой поверхности наклоненной к оси вала под углом 45⁰, т.е. по направлению действия максимальных растягивающих напряжений (рис.5.9,б). У деревянных валов первые трещины возникают по образующим цилиндра, так как древесина плохо сопротивляется действию касательных напряжений, направленных вдоль волокон (рис.5.9,в).

 

Рис.5.8 Рис.5.9

 

Таким образом, характер разрушения зависит от способности материала вала сопротивляться воздействию нормальных и касательных напряжений. В соответствии с этим, допускаемые касательные напряжения принимаются равным - для хрупких материалов и - для пластичных материалов.

 

12. Определение угла закручивания круглых валов. Условие жесткости.

 

При определении величины крутящего момента используется метод сечений. Суть его заключается в следующем: рассекаем вал сечением и отбрасываем одну из частей вала, расположенную либо справа, либо слева от сечения.

Обычно отбрасывают ту часть, к которой приложено больше скручивающих пар. Действие отброшенной части на рассматриваемую заменяют внутренним силовым фактором – крутящим моментом T. Затем из условий равновесия остановленной части вала определяют крутящий момент:

 

T = М_к= Σ М_i. (5.1)

 

Таким образом, крутящий момент в каком-либо сечении вала является уравновешивающей парой сил всех внешних скручивающих пар, приложенных либо слева, либо справа от рассматриваемого сечения.

 

Рис. 5.1

Угол сдвига

 

Максимальное касательное напряжение

 

Деформации вала

Угол закручивания:

- относительный

 

- абсолютный

 

Условие жесткости вала

Расчет вала при кручении сводится к одновременному удовлетворению двух условий:

 

- условия жесткости:

 

13. Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления для круглого сечения вала.

 

Геометрические характеристики круглых сплошных сечений вала:

Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ² (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:

- полярный момент инерции

 

- полярный момент сопротивления

Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м⁴, см⁴) и может быть лишь положительной.

Сама формула выглядит следующим образом:

Для круглого сплошного сечения:

где D — диаметр круга.