Динамика вращательного движения

1 (2.97). Ведёрко с водой, привязанное к веревке длиной l = 60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти наименьшую скорость u вращения ведерка, при которой в высшей точке вода из него не выливается. Какова сила натяжения веревки T при этой скорости в высшей и низшей точках окружности? Масса ведёрка с водой m = 2 кг.

2 (2.98). Камень, привязанный к верёвке длиной l = 50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. При какой частоте вращения n верёвка разорвётся, если известно, что она разрывается при силе натяжения, равной десятикратной силе тяжести, действующей на камень?

3 (2.99). Камень, привязанный к верёвке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения верёвки D T = 10 Н.

4 (2.100). Гирька, привязанная к нити длиной l = 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R = 15 см. С какой частотой n вращается гирька?

5 (2.101). Гирька массой m = 50 г, привязанная к нити длиной l = 25 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гирьки n = 2 об/с. Найти силу натяжения нити T.

6 (2.102). Диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой n = 30 об/мин. На расстоянии r = 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент трения k между телом и диском, чтобы тело не скатилось с диска?

7 (2.103). Самолёт, летящий со скоростью u = 900 км/ч, делает "мёртвую петлю". Каким должен быть радиус "мёртвой петли" R, чтобы наибольшая сила F, прижимающая лётчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тяжести, действующей на лётчика; б) десятикратной силе тяжести, действующей на лётчика?

8 (2.104). Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью u = 72 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол при этом он должен наклониться, чтобы не упасть при повороте?

9 (2.105). К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон едет со скоростью u = 9 км/ч по закруглению радиусом R = 36,4 м. На какой угол отклонится при этом нить с шаром?

10(2.109). Мальчик массой m = 45 кг вращается на "гигантских шагах" с частотой n = 16 об/мин. Длина канатов "гигантских шагов" l = 5 м. Какой угол с вертикалью составляют канаты "гигантских шагов"? Каковы сила натяжения канатов T и скорость u вращения мальчика?

11 (2.111). Груз массой m, подвешенный на невесомом стержне, отклоняют на угол a = 90° и отпускают. Найти силу натяжения T стержня в момент прохождения грузом положения равновесия.

12 (2.136). Космическая ракета летит на Луну. В какой точке прямой, соединяющей центры масс Луны и Земли, ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой?

13(2.139). Найти первую космическую скорость, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой орбите в качестве её спутника.

14 (2.143). С какой линейной скоростью u будет двигаться искус-ственный спутник Земли по круговой орбите: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 200 км и h = 7000 км от поверхности Земли? Найти период обращения T спутника Земли при этих условиях.

15 (2.145). Найти центростремительное ускорение a _n, с которым движется по круговой орбите искусственный спутник Земли, находящийся на высоте h = 200 км от поверхности Земли.

16 (2.148). Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите на высоте h = 20 км от поверхности Луны. Найти линейную скорость движения этого спутника, а также период его обращения вокруг Луны.

17 (2.151). На какой высоте h от поверхности Земли ускорение свободного падения g _h = 1 м/с²?

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

1 (2.36). При подъёме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м сила F совершает работу А = 78,5 Дж. С каким ускорением a поднимается груз?

2 (2.37). Самолёт поднимается и на высоте h = 5 км достигает скорости u = 360 км/ч. Во сколько раз работа A ₁, совершаемая при подъёме против силы тяжести, больше работы A ₂, идущей на увеличение скорости самолёта?

3 (2.38). Какую работу A надо совершить, чтобы заставить движу-щееся тело массой m = 2 кг: а) увеличить скорость от u ₁ = 2 м/с до u ₂ = 5 м/с; б) остановиться при начальной скорости u ₀ = 8 м/с?

4 (2.39). Мяч, летящий со скоростью u ₁ = 2 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью u ₂ = 20 м/с. Найти изменение импульса m ×Dv мяча, если известно, что изменение его кинетической энергии D W = 8,75 Дж.

5 (2.40). Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью u ₀ = 3 м/с, прошёл до остановки расстояние s = 20,4 м. Найти коэффициент трения k камня о лёд.

6 (2.41). Вагон массой m = 20 т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью u ₀ = 54 км/ч, под действием силы трения F _тр = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу A _тр сил трения и расстояние s, которое вагон пройдёт до остановки.

7 (2.42). Шофер автомобиля, имеющего массу m = 1 т, начинает тормозить на расстоянии s = 25 м от препятствия на дороге. Сила трения в тормозных колодках автомобиля F _тр = 3,84 кН. При какой предельной скорости u движения автомобиль успеет остановиться перед препят-ствием? Трением колес о дорогу пренебречь.

8 (2.43). Трамвай движется с ускорением a = 49,0 см/с². Найти коэффициент трения k, если известно, что 50% мощности мотора идёт на преодоление силы трения и 50% на увеличение скорости движения.

9 (2.44). Найти работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела массой m = 1 т от u ₁ = 2 м/с до u ₂ = 6 м/с на пути s = 10 м. На всём пути действует сила трения F _тр = 2 кН.

10 (2.45). На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения F _тр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Какую массу m бензина расходует двигатель автомобиля на то, чтобы на пути s = 0,5 км увеличить скорость движения автомобиля от u ₁ = 10 км/ч до u ₂ = 40 км/ч? К.п.д. двигателя h = 0,2, удельная теплота сгорания бензина q = 46 МДж/кг.

11 (2.46). Какую массу m бензина расходует двигатель автомобиля на пути s = 100 км, если при мощности двигателя N = 11 кВт скорость его движения u = 30 км/ч? К.п.д. двигателя h = 0,22, удельная теплота сгорания бензина q = 46 МДж/кг.

12 (2.50). Камень падает с некоторой высоты в течение времени t = 1,43 с. Найти кинетическую W _к и потенциальную W _р энергии камня в средней точке пути. Масса камня m = 2 кг.

13 (2.51). С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью u ₀ = 15 м/с. Найти кинетическую W _к и потенциальную W _р энергии камня через время t = 1 с после начала движения. Масса камня m = 0,2 кг.

14 (2.54). Тело массой m = 10 г движется по окружности радиусом R = 6,4 см. Найти тангенциальное ускорение a _t тела, если известно, что к концу второго оборота после начала движения его кинетическая энергия W _к = 0,8 мДж.

15 (2.116). Найти работу А, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на х = 20 см, если известно, что сила F пропорциональна сжатию х и жёсткость пружины k = 2,94 кН/м.

16 (2.121). С какой скоростью u двигался вагон массой m = 20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на х = 10 см? Жёсткость пружины каждого буфера k = 1 МН/м.

17 (2.123). К нижнему концу пружины, подвешенной вертикально, присоединена другая пружина, к концу которой прикреплён груз. Жёсткости пружин равны k ₁ и k ₂. Пренебрегая массой пружин по сравнению с массой груза, найти отношение W _р1/ W _р2 потенциальных энергий этих пружин.

18 (2.133). Два медных шарика с диаметрами D ₁ = 4 см и D ₂ = 6 см находятся в соприкосновении друг с другом. Найти гравитационную потенциальную энергию W _р этой системы.

19 (2.152). Во сколько раз кинетическая энергия W _к искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, меньше его гравитационной потенциальной энергии W _р?

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

1 (2.61). На рельсах стоит платформа массой т ₁ = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m ₂ = 5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m ₃ = 100 кг; его начальная скорость относительно орудия u ₃ = 500 м/с. Найти скорость u платформы в первый момент после выстрела, если: а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью u = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении её движения; в) платформа двигалась со скоростью u = 18 км/ч и выстрел был произведён в направлении, противоположном направлению её движения.

2 (2.62). Из оружия массой m ₁ = 5 кг вылетает пуля массой m ₂ = 5 г со скоростью u ₂ = 600 м/с. Найти скорость отдачи ружья.

3 (2.63). Человек массой m ₁ = 60 кг, бегущий со скоростью u ₁ = 8 км/ч, догоняет тележку массой m ₂ = 80 кг, движущуюся со скоростью u ₂ = 2,9 км/ч, и вскакивает на неё. С какой скоростью u будет двигаться тележка? С какой скоростью u¢ будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?

4 (2.65). Граната, летящая со скоростью u = 10 м/с, разорвалась на два осколка. Большой осколок, масса которого составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью u ₁ = 25 м/с. Найти скорость u ₂ меньшего осколка.

5 (2.67). Конькобежец массой M = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью u = 8 м/с. На какое расстояние s откатится при этом конько-бежец, если коэффициент трения коньков о лёд k = 0,02?

6 (2.69). Тело массой m ₁ = 2 кг движется навстречу второму телу массой m ₂ = 1,5 кг и неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были u ₁ = 1 м/с и u ₂ = 2 м/с. Какое время будут двигаться эти тела после удара, если коэффициент трения k = 0,05?

7 (2.70). Автомат выпускает пули с частотой n = 600 1/мин. Масса каждой пули m = 4 г, её начальная скорость u ₀ = 500 м/с. Найти среднюю силу отдачи F при стрельбе.

8 (2.71). На рельсах стоит платформа массой m ₁ = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m ₂ = 5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m ₃ = 100 кг, его начальная скорость относительно орудия u ₃ = 500 м/с. На какое расстояние s откатится платформа при выстреле, если а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью u = 18 км/ч и выстрел был произведён в направлении её движения; в) платформа двигалась со скоростью u = 18 км/ч и выстрел был произведён в направлении, противоположном направлению её движения. Коэффициент трения платформы о рельсы k = 0,002.

9 (2.72). Из орудия массой m = 5 т вылетает снаряд массой m = 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете W _k = 7,5 МДж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

10 (2.73). Тело массой m ₁ = 2 кг движется со скоростью u ₁ = 3 м/с и нагоняет тело массой m ₂ = 8 кг, движущееся со скоростью u ₂ = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости u ₁ и u ₂ тел после удара если удар: а) неупругий; б) упругий.

11 (2.75). Тело массой m = 3 кг движется со скоростью u = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

12 (2.76). Тело массой m ₁ = 5 кг ударяется о неподвижное тел массой m ₂ = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией = 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинети-ческие энергии и первого тела до и после удара.

13 (2.78). Два тела движутся навстречу друг другу и соударяются неупруго. Скорости тел до удара были u ₁ = 2 м/с и u ₂ = 4 м/с. Общая скорость тел после удара u = 1 м/с и по направлению совпадает с направлением скорости u ₁. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была больше кинетической энергии второго тела?

14 (2.79). Два шара с массами m ₁ = 0,2 кг и m ₂ = 0,1 кг подвешены на нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар отклоняют на высоту h ₁ = 4,5 см и отпускают. На какую высоту h подни-мутся шары после удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?

15 (2.80). Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подве-шенный на невесомом жёстком стержне и застревает в нём. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l = 1 м. Найти скорость u пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол a = 10°.

16 (2.82). Деревянным молотком, масса которого m = 0,5 кг, ударяют о неподвижную стенку. Скорость молотка в момент удара u = 1 м/с. Считая коэффициент восстановления при ударе молотка о стенку k = 0,5, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе. (Коэффициентом восстановления материала тела называется отношение скорости тела после удара к его скорости до удара).

17 (2.84). Деревянный шарик массой m = 0,1 кг падает с высоты h ₁ = 2 м. Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол 0,5. Найти высоту h ₂, на которую поднимается шарик после удара о пол, и количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

18 (2.85). Пластмассовый шарик, падая с высоты h = 1 м, несколько раз отскакивает от пола. Найти коэффициент восстановления k при ударе шарика о пол, если с момента падения до второго удара о пол прошло время t = 1,3 с.

19 (2.89). Движущееся тело массой m ₁ ударяется о неподвижное тело массой m ₂. Считая удар неупругим и центральным, найти, какая часть кинетической энергии первого тела переходит при ударе в тепло. Задачу решить сначала в общем виде, а затем рассмотреть случаи: а) m ₁ = m ₂; б) m ₁ = 9 m ₂.

20 (2.92). Нейтрон (масса m ₀) ударяется о неподвижное ядро атома углерода (m = 12 m ₀). Считая удар центральным и упругим, найти, во сколько раз уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе.