Методи синтезу регуляторів з сучасної ТАК

Сучасний період розвитку теорії управління характеризується постановкою і рішенням завдань, що враховують неточність наших знань про об'єкти управління і зовнішніх обурень, що діють на них. Завдання синтезу регулятора і оцінювання стану з урахуванням невизначеності в моделі об'єкту і характеристиках вхідних дій є одними з центральних в сучасній теорії управління. Їх важливість обумовлена передусім тим, що практично у будь-якому інженерному завданні конструювання САУ є присутньою невизначеність в моделі объекта і в знанні класу вхідних обурень.

Модель реальної фізичної системи завжди буде неточною з наступних причин:

- зміна параметрів системи через ті або інші обставини;

- динамічні властивості, не враховані в моделі;

- зміна робочого режиму;

- шум датчика;

- непередбачувані зовнішні обурення.

В результаті проектувальник, перед яким стоїть завдання синтезу високоякісної системи управління через вказані обставини вимушений шукати рішення в класі робастных систем. Метою синтезу робастной системи управління є гарантія стійкості і необхідної якості незалежно від погрішностей виміру і зміни параметрів моделі. Система, що має стійкість і необхідну якість управління незважаючи на істотні невизначеності (невизначеність кінцевих розмірів (наприклад, завдання коефіцієнтів диференціального рівняння где и – дифференциальные операторы, интервалами с фиксированными границами) на відміну від нескінченно малих неопределенностей(які досліджуються за допомогою функцій чутливості)) в описі моделі називається робастной.

У літературі прийнято виділяти два характери неточності опису(неопределенностей) в моделі об'єкту:

- параметричні обурення(невизначеності), пов'язані з неточністю завдання коефіцієнтів диференціального рівняння;

- структурні обурення(невизначеності), пов'язані з неточністю завдання порядку диференціального рівняння.

Другий спосіб опису невизначеності системи, очевидно, є загальнішим і включає перший як окремий випадок.

Найбільш перспективними видаються методи -управления, методи, грунтовані на принципі виключення нуля, а також методи побудови меж області стійкості в просторі параметрів об'єкту, що розвиваються в роботах Неймарка Ю. И., а також в роботах Аккермана. Для зручності подальшого викладу представляється доцільним привести тут основні положення перерахованих методів.

Теорема Харитонова. Цей результат, що дістав в літературі назву "Теореми Харитонова" уперше був опублікований в 1978 році в роботі Харитонова В.Л.

У вказаній роботі розглядалося завдання дослідження стійкості(гурвицевости) сімейства поліномів виду:A (s)={A (s) = a ₀ + a ₁ s + … + a_n sⁿ, a_i >0, £ a_i £ , i = 0, …, n -1 }. (1.22)

Сімейство(1.22) в літературі іменується інтервальним поліномом.

Твердження 1(теорема Харитонова). Сімейство(1.22) гурвицево тоді і тільки тоді, коли гурвицевы наступні чотири поліноми

A₁ (s) = + s + s ² + s ³ + …,

(1.23)

A₂ (s) = + s + s ² + s ³ + …,

A₃ (s) = + s + s ² + s ³ + …,

A₄ (s) = + s + s ² + s ³ + ….

Поліноми(1.23) в літературі дістали назву поліномів Харитонова.

Теорема Харитонова чудова двома моментами:

1)вона уперше встановила властивості робастной стійкості(гурвицевости) з точністю до необхідних і достатніх умов;

2)дослідження інтервального полінома зводиться до дослідження гурвицевости 4-х поліномів c точно певними коефіцієнтами(поліномів Харитонова).

Особливо слід зазначити, що у багатьох роботах робилися спроби отримати подібні результати для матриць, коефіцієнти яких призначені інтервалами суть результатів яких можна звести до наступного: в загальному випадку не вдається вказати кінцевого числа матриць таких, що їх гурвицевость гарантувала б гурвицевость усіх матриць із заданого сімейства.

 

Принцип виключення нуля. У роботах Цыпкина Я. З. і Поляка Б. Т. був сформульований загальний підхід до дослідження робастной стійкості і робастного якості управління при досить довільному способі завдання параметричній невизначеності, що дістав назву в літературі принципу виключення нуля. Коротко, суть цього методу полягає в наступному.

Нехай характеристичний поліном досліджуваної системи має вигляд:

, (1.24)

де вектор коеффіцієнтів належать де якій одинзв'язній множині , що лежить в напівпросторі :

, . (1.25)

Система вважається робастно стійкою, якщо усі корені усіх поліномів(1.24),(1.25) лежать в лівій напівплощині: , . Розглянемо (1.24) при (здесь ); множина значень на комплексній площині при фіксованому , коли коэфіцієнти приймають значення з (1.25) позначимо :

.

Хай ,

- "необурений" поліном.

Твердження 2. Система робастно стійка тоді і тільки тоді коли гурвицев и для усіх .

Це твердження іноді іменується в літературі принципом виключення нуля.

Методи -керування стосовно дослідження властивостей робастной стійкості в цілому зводяться до наступного результату.

Розглянемо замкнуту систему управління, що складається з об'єкту управління і регулятора; нехай передатна функція об'єкту має вигляд:

, (1.26) тут за позначена передатна функція необуреного об'єкту, а:

, (адаптивний тип невизначеності),

, (мультипликативний тип невизначеності).

Передбачається, що передатна функція замкнутої системи з номінальним об'єктом і регулятором

стійка; використовуючи(1.26) запишемо рівняння замкнутої системи (; ) з урахуванням невизначеності:

, (1.27)

.

Твердження 3. Системи(1.27) стійкі, якщо виконуються відповідно умови

, (1.28)

.

Тут за обозначена –норма оператора , яка визначена наступним чином

, .

З співвідношень (1.28) витікають наступні обмеження на і :

,

.

Викладений критерій має велику спільність формулювання, він дозволяє із загальних позицій розглядати в моделі об'єкту разом з параметричною структурною невизначеністю. Проте за цю спільність доводиться платити достатністю критерію(1.28) (тут доречно порівняти цей критерій з відомим з курсу теорії автоматичного управління критерієм Найквіста).