Законы Ома в интегральной и дифференциальной формах

Однородный (пассивный) участок электрической цепи. Участокэлектрической цепи, не содержащий источников электроэнергии, называ-ется однородным (рис. 5.2.1). Для такого участка (проводника) закон Ома, который установлен экспериментально, гласит: сила тока I в проводнике прямо пропорциональна напряжению U на его концах и обратно пропор-циональна электрическому сопротивлению R проводника (участка):

	I	^U.	(5.2.1)
		R
	R		I

1				2

U =1–2

Рис. 5.2.1

Единица сопротивления – ом (1 Ом = 1 В/А).

Выражение (5.2.1) является законом Ома для однородного участ-ка цепи в интегральной форме.

Величина g, обратная сопротивлению, называется электрической проводимостью (или электропроводностью)проводника:

g		.	(5.2.2)

	R

Единица электропроводности – сименс (1 Cм = 1 А/В = 1/Ом). Сопротивление и электропроводность проводника являются его характеристиками, которые зависят от природы вещества проводника, его геометрии и состояния. Для однородного линейного проводника сопротивление прямо пропорционально его длине l и обратно пропор-

ционально площади поперечного сечения S проводника:

R	l	,	(5.2.3)
S

где – удельное сопротивление вещества.

Единица удельного сопротивления – ом-метр (1 Ом · м).

^{Величина} ¹ называется удельной электрической проводимо-

стью (или удельной электропроводностью)материала проводника.

Единица удельной электропроводности сименс на метр (1 См/м = = 1 Ом^–1 · м^–1).

Опытным путем установлено, что для большинства металлов с повышением температуры удельное сопротивление (а значит, и со-противление) увеличивается. Такое изменение удельного сопротивле-ния (сопротивления) описывается линейным законом, если интервал изменения температуры достаточно мал:

= ₀(1 + t), или R = R ₀(1 + t),

(5.2.4)

где и ₀, R и R ₀ – соответственно удельные сопротивления и сопро-тивления проводника при температурах t °С и 0°С; – температурный коэффициент сопротивления.

Для всех химически чистых металлов коэффициент близок к 1/273.

Зависимость сопротивления металлов от температуры исполь-зуют в различных измерительных и автоматических устройствах (например, термисторы, термометры сопротивления), а зависи-мость удельного сопротивления металлов от механических воздей-ствий, которая для чистых металлов и сплавов возрастает при рас-тяжении, используется для измерения деформаций и механических напряжений.

2 I

1 E

S	l

Рис. 5.2.2

Расчет силы тока в проводящей среде в общем случае осуществля-ется на основе закона Ома в дифференциальной форме. Для его вывода рассмотрим небольшой отрезок трубки тока (рис. 5.2.2) в однородной и изотропной проводящей среде. На рисунке l – расстояние между точками 1 и 2, потенциалы которых соответственно равны ₁ и ₂, а S –средняя величина площади сечения трубки тока.

По закону Ома I

², где R

^R 12

Далее учтем, что I = jS и ¹.

Тогда

l ^S

l ^.

Но lim

E,где Е –напряженность электрического

l 0

поля в некоторой точке внутри проводника. Таким образом, имеем:

j = E,или			(5.2.5)
j	E	¹ E.

Плотность электрического тока в любой точке проводящей среды вычисляется как произведение удельной электропроводности среды на напряженность электрического поля в этой точке.

Выражение (5.2.5) является з аконом Ома для однородного участ-ка цепи в дифференциальной форме.

Сравнив формулу (5.2.5) с уравнением (5.1.7), можем сказать, что средняя скорость упорядоченного движения (скорость дрейфа) носи-телей заряда пропорциональна напряженности поля, т. е.

	aE.	(5.2.6)
u

где a – подвижность носителей заряда. Подставив выражение (5.2.6)

в уравнение (5.1.7), получим:
	(5.2.7)
j enaE E.

Таким образом, удельная электропроводимость среды определя-ется концентрацией носителей заряда и их подвижностью, т. е. = ena.

Неоднородный (активный) участок электрической цепи. Если впроводнике создать электрическое поле и не принять мер для его под-держания, то перемещение носителей тока приведет к тому, что потен-

циалы всех точек цепи выравняются, и поле внутри проводника исчез-нет, а ток прекратится. Для того чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые сюда заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить (разделение разноименных за-рядов), т. е. необходимо наличие в цепи устройства, способного созда-вать и поддерживать разность потенциалов. Устройство, способное соз-давать и поддерживать разность потенциалов, называют источником электрической энергии (или генератором).В источниках электроэнер-

гии на носители зарядов действуют силы неэлектростатического проис-хождения, которые называются сторонними силами. Они могут быть обусловлены химическими процессами, вихревыми электрическими по-лями, диффузией носителей заряда в неоднородной среде и т. д.

Количественной характеристикой сторонних сил является напря-женность E _ст, которая определяется сторонней силой, действующей на

единичный положительный заряд. Сторонние силы можно охарактери-зовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Физическая величина, равная работе сторонних сил по пере-мещению единичного положительного заряда в цепи или на ее участке, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника электроэнергии:

^A ст	.	(5.2.8)

q

Эта работа совершается за счет энергии, затрачиваемой в источ-нике тока.

Работа сторонних сил по перемещению заряда q ₀ на участке цепи равна:


^A ст ^F ст ^dl	q _пр E _ст dl.	(5.2.9)

Отсюда ЭДС, действующая в замкнутой цепи, – это циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил:

E _ст dl.

(5.2.10)

Для поля сторонних сил циркуляция его напряженности по замкнутому контуру не равна нулю. Поэтому поле сторонних сил не-потенциально.

Участок электрической цепи называется неоднородным, если он со-держит источник (или источники) электрической энергии (рис. 5.2.3).

	R	I	r,

1				2

U = (1–2) +

Рис. 5.2.3

Рассмотрим участок цепи, полное сопротивление которого R ₁₂ и ₁ > ₂. Для любой точки данного участка напряженность результи-

рующего поля E E _эл E _ст. Поэтому з акон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме запишется в виде:


jE эл E ст.	(5.2.11)

В случае если на заряд кроме сторонних сил действуют силы электростатического поля, то результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд, равна:


F	F эл F ст q пр E эл E ст.	(5.2.12)

Тогда работа, совершаемая этой силой на участке цепи 1 → 2, оп-ределяется выражением

(5.2.13)

эл

пр

ст

пр

Величина, численно равная работе, совершаемой электрическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения, или просто напряжением на данном участке цепи:

U			^A 12	.	(5.2.14)

		^q пр

Так как U ₁₂ = IR ₁₂, то
	IR ₁₂=₁–₂+₁₂.	(5.2.15)

С учетом выражения (5.2.15) закон Ома для неоднородного уча-стка цепи в интегральной форме принимает вид:

I		2			2	(5.2.16)
1		12		1	,
	^R 12		R r

где R – сопротивление внешнего участка цепи; r – внутреннее сопро-тивление источника тока.

При использовании (5.2.16) для расчета характеристик участка электрической цепи пользуются правилами знаков для силы тока и ЭДС: если направление тока (выбранное произвольно) совпадает с на-правлением движения по участку от точки 1 до точки 2, то сила тока I берется со знаком «плюс», в противоположном случае сила тока I бе-рется со знаком «минус»; если внутри источника ток идет от катода к аноду, т. е. напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает по направлению с током на участке цепи, то ЭДС этого источника считается положительной, в противоположном случае ЭДС этого ис-точника считается отрицательной.

	I 1	1, r 1	R 1



1				2

I 2

R 2 2, r 2

Рис. 5.2.4

Для электрической цепи, состоящей из двух участков и изобра-женной на рис. 5.2.4, согласно выбранному направлению движения по каждому участку от точки 1 до точки 2 и правилам знаков уравнения, записанные с применением закона Ома (5.2.16) для неоднородного участка цепи, имеют следующий вид:

I				I
			;			.

	R ₁	r ₁		R ₂	r ₂

Если цепь замкнута, то в выражении (5.2.16) ₁ – ₂ = 0, и получа-

ем выражение закона Ома для замкнутой цепи (рис. 5.2.5):

I
		.	(5.2.17)
R	R r

Если R << r, то происходит короткое замыкание источника энер-гии. Сила тока короткого замыкания достигает максимального значе-ния и равна:

^I max		^I к.з^.	(5.2.18)
	r

				,	r
I


					R

Рис. 5.2.5

Для большинства реальных источников из-за малости r режим ко-роткого замыкания является аварийным, и поэтому применяют защиту от короткого замыкания.