Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим интегралы типа

Рассмотрим интегралы типа . С помощью подстановки такой интеграл всегда можно преобразовать в интеграл от рациональной дроби относительно переменной t. Действительно, т.к.

при , ,

х = 2arctg t, ,

то = – под знаком получившегося интеграла стоит рациональная функция, принцип интегрирования которой мы уже обсудили.

Подстановка называется универсальной, так как позволяет тригонометрическую функцию свести к рациональной, но иногда интегрирование получившейся рациональной дроби требует довольно сложных выкладок. Поэтому наряду с универсальной подстановкой рассматривают частные подстановки, которые в некоторых случаях упрощают вычисления.

Функцию R(u (x), v (x)) называют нечетной относительно функции и (х), если R(– u, v) = –R(u, v);

функция R(u (x), v (x)) называют нечетной относительно функции v (х), если R(u, – v) = –R(u, v);

функция R(u (x), v (x))– четная относительно и (х), если R(– u, v) = R(u, v);

функция R(u (x), v (x)) – четная относительно v (х), если R(u, – v) = R(u, v);

если R(– u, – v) = R(u, v), то функция R(u (x), v (x)) четная относительно обеих функций u и v.

А) Если в интеграле функция R (sin x, cos x) – нечетная относительно sin x, то ее можно представить в виде R ₁(cos x)sin x, тогда используется подстановка cos x = t:

= .

Б) Если в интеграле функция R (sin x, cos x) – нечетная относительно cos x, то ее можно представить в виде R ₁(sin x)cos x, тогда используется подстановка sin x = t:

= .

В) Если в интеграле функция R (sin x, cos x) – четная относительно sin x и cos x, то она может быть преобразована к виду R ₁(tg x) или R ₂(сtg x), поэтому используется подстановка tg x = t или ctg x = t соответственно:

=
= .

Рассмотрим примеры.

Пример1.

1) Найти . Используем универсальную подстановку:

2) Найти . Заметим, что функция – нечетная относительно sin x. Действительно,

R (–sin x, cos x) = = – R (sin x, cos x),

поэтому рациональнее применить не универсальную, а частную подстановку t = cos x:

.

3) Найти . В этом случае, подынтегральная функция четная относительно sin x и cos x:

,

поэтому удобно сделать подстановку t = tg x. Получим

.

Г) Рассмотрим интеграл вида Если п и т – четные, то для упрощения подынтегрального выражения используются формулы понижения степени:

В остальных случаях возможных значений п и т могут быть использованы частные подстановки А), Б), В), а так же другие преобразования подынтегральной функции.

Д) Интегралы вида , , легко вычисляются в результате применения формул

 

Рассмотрим примеры.

Пример2.

1)

2) .

3) .

Таким образом, интегрирование тригонометрических функций основано, по существу, на использовании тригонометрических тождеств для преобразования подынтегрального выражения.