Точечные оценки и их свойства

Пусть оценивается некоторый параметр наблюдаемой СВ генеральной совокупности. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема по которой может быть найдена оценка параметра .

Например, для нормального закона распределения с плотностью вероятности

параметрами являются математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

Точечной оценкой параметра называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке объема .

Например, оценками и могут быть:

и соответственно.

Нетрудно заметить, что оценка являются функцией от выборки, т.е. = .

Так как выборка носит случайный характер, то оценка является СВ, принимающей различные значения для различных выборок. Любую оценку называют статистикой или статистической оценкой параметра

Точностью оценки называют такое число , что . Естественно стремление получить по возможности наиболее точную оценку при данном объеме выборки.

Приведем свойства, выполнимость которых желательна для того, чтобы оценка была признана удовлетворительной.

В силу случайности точечной оценки она может рассматриваться как СВ со своими числовыми характеристиками – математическим ожиданием и дисперсией Чем ближе к истинному значению и чем меньше тем лучше будет оценка (при прочих равных условиях). Т.о., качество оценок характеризуется следующими основными свойствами:

- несмещенность;

- эффективность;

Состоятельность.

Оценка называется несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: В противном случае – оценка называется смещенной.

Разность - называется смещением или систематической ошибкой оценивания. Для несмещенных оценок систематическая ошибка равна нулю. Если , то завышает среднее значение

Свойство несмещенности оценки является важнейшим, но не единственным. Существует несколько возможных несмещенных оценок одного и того же параметра. Выбор будет сделан в пользу той из них, вероятность совпадения которой с истинным значением оцениваемого параметра выше. Оценка должна иметь такую плотность вероятности, которая наиболее «сжата» вокруг истинного значения оцениваемого параметра. Нетрудно заметить, что в этом случае она будет иметь наименьшую среди других оценок дисперсию.

Оценка называется эффективной оценкой параметра , если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой альтернативной несмещенной оценки при фиксированном объеме выборки т.е.

Оценка называется асимптотически эффективной, если с увеличением объема выборки ее дисперсия стремится к нулю, т.е. при ∞ (индекс в оценке применяется для подчеркивания объема выборки).

Оценка называется состоятельной оценкой параметра , если сходится по вероятности к оцениваемому параметру при ∞. Другими словами, состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объеме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблюдений.

Справедливо следующее утверждение: если и при ∞, то состоятельная оценка параметра

Оценки, являющиеся линейными функциями от выборочных наблюдений, называется линейными.

Наиболее употребляемыми методами нахождения точечных оценок является метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.