Нечеткие множества и операции над ними

Если есть неопределенность, не имеющая ни статистического, ни игрового характера, то для ее раскрытия может быть использован математический аппарат теории нечетких множеств. Нечеткое множество характеризуется тем, что его характеристическая функция, называемая в данном случае функцией принадлежности (ФПр), является многозначной, принимающей значения на множестве (0 – 1), в отличие от двузначной характеристической функции четкого (классического, канторовского) множества, принимающей значения либо 0, либо 1. Это означает, что в четкой ситуации мы о каждом элементе можем определенно говорить, что он ипи принадлежит, или не принадлежит некоторму мнножеству А (третьего не дано), а в нечеткой ситуации факт принадлежности элемента нечеткому множеству А утверждается пишь с некоей степенью уверенности, измеряемой числом от 0 (наверняка не принадлежит) до 1 (наверняка принадлежит).

На рисунке 2 приведены примеры характеристических функций четкого (а) и нечеткого (б) множеств.

Нечеткие множества были предложены Заде в 19…году. Ему же принадлежит и разработка начал алгебры нечетких множеств (алгебра Заде).

Алгебра Заде заметно отличается от булевой, и ниже приводятся основные операции этой алгебры.

пример четкого множества.

 

1.Влечение. BÌA (рис. 1а, 1б)

для четких множеств для нечетких множеств

m_a(x)=1 "xÎB m_b(x)£ m_a(x) "x

2. Дополнение. (рис. 2а,2б)

для четких множеств для нечетких множеств

m_b(x)= 1 xÏA m_b(x)=1-m_a(x)

0 xÎA

3. Объединение(AÈB). (рис.3а,3б)

для четких множеств для нечетких множеств

m_AÈB= 1 xÎ(AÈB) m_AÈB(x)=max[m_A(x); m_B(x)]

0 xÏ(AÈB)

 

4.Пересечение(AÇB). (рис. 4а, 4б)

для четких множеств для нечетких множеств

m_AÇB(x)= 1 (xÎA)Ç(xÎB) m_AÇB(x)=min (m_A; m_B)

0 (xÏA)È(xÏB)

Помимо приведенных «обычных» операций, в теории нечетких множеств имеют хождение также алгебраические, граничные, драстические и «лямбда» суммы и пересечения. Выбор той или иной операции определяется ее физическим смыслом и существом решаемой задачи.

Рассматривавшиеся до сих пор нечеткости относятся к так называемым нечеткостям первого рода. Однако, возможны нечеткости и более высоких порядков (родов). Рассмотрим некоторое нечеткое множество А, функция принадлежности которого изображена на рис 2.

Анализируя график, можно сказать, что на отрезке [a,b] x безусловно принадлежит А. На остальных же участках x может как принадлежать так и не принадлежать множеству А.

Степень возможности того, что хÎА характеризуется функцией m_A(x). Так как это субъективная оценка, то можем говорить о множестве возможных значений функци принадлежности в любой точке x*,.не имеющих статистического описания Следовательно эти значения можно рассматривать как нечеткие множества, и определять для них функцию принадлежности. Такая функция будет характеризовать нечеткость второго рода. Далее можно получить нечеткость 3^го рода и т.д. Возникает вопрос, насколько большим может быть порядок нечеткости и где остановиться. Можно сказать, что предела нет, и нечеткости высоких порядков практического смысла не имеют.

Помимо операций, рассмотренных выше, в задачах принятия решений особо важную роль играют процедуры нечеткого вывода и нечеткой импликации. Их принципиальной особенностью является то, что как предпосылка, так и результат вывода носят неопределенный, нечеткий характер. Нечеткая импликация, как и приведенные выше алгебраические операции, может осуществляться различными способами. Несколько ниже будет приведен простой и наглядный пример нечеткого вывода.

Функции принадлежности

Функции принадлежности нечетких множеств можно назначать или определять различными способами. Рассмотрим некоторые из них.

1. Метод непосредственного назначения. Согласно этому методу ЛПР, пользователь или эксперт назначает на основе своих субъективных представлений значения функции принадлежности (каждую ее ординату). Естественно, что построенная таким образом ФПр носит субъективный характер и практически полностью зависит от квалификации ее автора.

2. Параметрический метод. В этом методе вначале выбирается вид функциональной кривой, описывающей ФПр, а затем назначаются численные значения ее параметров. Преимущество этого метода состоит в том, что он позволяет более явно, по сравнению с предыдущим, учесть результаты содержательного анализа конкретного нечеткого множества. ФПр по-прежнему имеет субъективный характер, но, как показывает анализ, дисперсия ее, определенная на множестве назначений, ниже, чем в предыдущем методе.

3. Вероятностный метод. Можно придать функции принадлежности вероятностный смысл, т.е. полагать, что каждое значение ФПр равно вероятности того, что соответствующий ей элемент принадлежит нечеткому множеству. Так как статистическая информация отсутствует, то этот способ предполагает использование субъективных вероятностей, которые можно назначать, например, с помощью эталонных лотерей, описанных выше.Поэтому субъективный характер ФПр сохраняется. Однако, используя этот метод, мы, в известной мере, уходим от нечеткости и переходим к стохастической задаче.

4. Метод косвенной экспертизы. Здесь предлагается в качестве значений функции принадлежности использовать вероятность того, что на удачу выбранный эксперт признает данный элемент принадлежащим нечеткому множеству. Необходимо подчеркнуть, что эта вероятность принципиально отличается введенной в предыдущем методе. Вычисление этой вероятности может осуществляться, как и выше, ЛПР, пользователем или экспертом. В качестве вычислительной процеуры можно также применять эталонные лотереи. Этот метод дает минимальную дисперсию, что, видимо, объясняется тем, что производящий назначения делает это более собранно, когда перед ним ставится задача оценки не собственного мнения, а мнения третьего лица.

5. Метод предварительного назначения. Согласно этому методу ФПр назначается так, что бы в общих чертах соответствовать описываемому нечеткому множству. На зтой основе создается модель или реальная система, а затем, в процессе анализа, экспериментов или эксплуатации ФПр уточняется с тем, что бы добиться наилучшего результата функционирования, использующей ее системы, Этот метод наиболее эффективен в задачах разработки реальных технических систем, использующих нечеткую логику.