Тема 2. Тиск у рідині, що знаходиться у рівновазі

Тиск у точці рідини, що знаходиться у рівновазі (гідростатичний тиск) і його властивості. Диференціальні рівняння рівноваги рідини (рівняння Л. Ейлера). Поверхні рівного тиску. Відносний спокій рідини.

Основне рівняння гідростатики. Поняття про абсолютний, манометричний і вакуумметричний тиски. Епюри тиску. Одиниці виміру тиску. Прилади для виміру тисків і рівнів. Закон Паскаля і його використання в техніку.

Література: [3], 23—33, 42—45; [6], 16—34; [И], 25—65; [12], 22—66; [15], 26—50.

Методичні вказівки

Потрібно засвоїти визначення тиску в точці рідини, що знаходиться у рівновазі (гідростатичного тиску) і вміти довести його властивості, тому що це важливо для розуміння подальшого матеріалу.

Вивчаючи диференціальні рівняння рівноваги рідини, варто звернути увагу на фізичний зміст вхідних у них величин, а також усвідомити, що збільшення тиску в спочиваючій рідині відбувається за рахунок масових сил. Необхідно засвоїти, що розуміють у гідравліці під поверхнею рівного тиску і вільною поверхнею рідини, а також, який вид можуть мати ці поверхні в різних випадках.

Основне рівняння гідростатики виражає залежність абсолютного (повного) тиску в даній крапці спочиваючої рідини від тиску на вільній поверхні рідини, роду рідини і відстані розглянутої крапки від вільної поверхні. Необхідно знати, що різного роду гідравлічні розрахунки, зв'язані з визначенням сил тиску на стінки труб, резервуарів, гідротехнічних споруджень ведуться звичайно не по повному тиску, а по різниці між повним і атмосферним тисками. Цю різницю називають манометричним тиском, якщо вона позитивна, і вакууметричним, (вакуумом) чи розрідженням, якщо вона негативна.

Варто ознайомитися з основними одиницями виміру тиску, застосовуваними в техніку: кгс/см² чи кГ/см², кгс/м² н/м², м вод. ст., мм вод, ст., мм рт. ст., а також добре засвоїти перехід від одних одиниць до інших. Звернути увагу на різницю між технічною атмосферою (ат) і фізичною атмосферою (атм). Основною одиницею тиску в системі СІ є н/м², що і варто застосовувати при виконанні розрахунків і рішенні задач.

Для побудови епюри тиску — графічного зображення закону зміни тиску - необхідно знати першу властивість гідростатичного тиску й основне рівняння гідростатики. Перша залежність дає якісну характеристику — показує, як діє тиск стосовно стінки, друга залежність дає кількісну характеристику - показує, як змінюється величина тиску по глибині.

У залежності від роду вимірюваного тиску (абсолютного, манометричного, вакууметричного чи різниці тисків) прилади для виміру тисків розділяються на барометри, манометри, вакуумметри і диференціальні манометри. По типу робочого органа і принципу дії ці прилади можна розділити на рідинні (трубчасті, чашкові, кільцеві, поплавкові й ін.), пружинні (трубчасті, мембранні, сільфонні), поршневі, електричні й ін.

Розглядаючи прилади для виміру тисків, а також гідравлічні машини, засновані на законі Паскаля, потрібно зрозуміти і запам'ятати їхній принциповий пристрій.

Приклад 1. Визначити щільність рідини, налитої в праве коліно сполучених посудин, якщо в лівому коліні - вода; Н₁=240 мм, Н₂ = 300 мм.

Проведемо по границі роздягнула рідин горизонтальну площину, слід якої на кресленні лінія 00. Тому що в спочиваючій однорідній рідині будь-яка горизонтальна площина є площиною рівного тиску, то абсолютні тиски в крапках 1 і 2 рівні

р₁= р₂

Відповідно до основного рівняння гідростатики

р₁ = р_а + gН₁, р₂ = р_а + gН₂

Отже, р_а + gН₁про= р_а + gН₂

Звідки

Приклад 2. Побудувати епюру надлишкового тиску для контуру бічної стінки судини, якщо висоти рівнів рідин у судині: гасу Н₁ = 100 мм, води Н₂=150 мм, ртуті Н₃=10 мм.

Надлишковий тиск на вільній поверхні дорівнює нулю, отже, у крапці О р₀= 0.

Надлишковий тиск у крапці 1дорівнює

р₁ = р_а + gН₁ =800· 9,81 · 0,1=785 н/м².

Надлишковий тиск у крапці 2 дорівнює

р₂ = р_а + gН₂ = 785 + 1000 · 9,81 · 0,15 = 2260 н/м².

Надлишковий тиск у крапці 3 дорівнює

р_з = р₃ + gН₃ = 2260 + 13600 · 9,81 · 0,01 =3590 н/м².

Відкладаємо в масштабі величину тиску в кожній крапці (відповідно до першої властивості гідростатичного тиску нормально до стінки) і кінці відрізків з'єднуємо прямими лініями. Отримана фігура є епюром надлишкового тиску.

Приклад 3. Визначити зусилля G (кн), що стискає випробуваний зразок у гідравлічному пресі, якщо до рукоятки важеля прикладене зусилля Р=200 н.

Плечі важеля а=500 мм, b =450 мм; діаметри поршнів: D = 480 мм, d = 40 мм.

Відповідно до правила важеля зусилля, що повідомляється малому поршню, може бути знайдене з вираження

Тиск рідини в малому циліндрі буде

Відповідно до принципу Паскаля цей тиск передається однаково в усі сторони, у тому числі і до великого поршня. Отже, зневажаючи тертям

Питання і задачі для самоперевірки

1. Які властивості гідростатичного тиску?

2. Який фізичний зміст величин, що входять у диференціальні рівняння рівноваги рідини?

3. Що таке вільна поверхня рідини?

4. Що такий манометричний тиск і вакуум? Які межі їхньої зміни?

5. Зобразите схеми основних приладів для виміру тисків.

6. Яка різниця між п’єзометром і рідинним манометром? Дайте порівняльну оцінку рідинних приладів з U-образною трубкою і чашкових, пружинних приладів із трубчастою пружиною і мембранних.

7. Сформулюйте закон Паскаля і зобразіть схеми гідравлічних машин, заснованих на цьому принципі.

8. Що таке відносний спокій рідини? Яку форму мають поверхні рівного тиску в рідині, що знаходиться в судині, що: а) рухається по горизонталі рівношвидко, б) обертається з постійною кутовою швидкістю навколо своєї вертикальної осі?

9. Визначити абсолютний тиск води р (кн/м²) у верхній крапці резервуара, якщо різниця рівнів ртуті в U-образній трубці Н=301 мм, а атмосферний тиск р_а = 1 бар.

Відповідь: р =137 кн/м².

10. Визначити глибину стовбура шахти Н (м), якщо показання барометра, встановленого на поверхні, В₁ = 960 мбар, а показання барометра, встановленого в зумпфі стовбура, В₂ = 760 мм рт. ст. Щільність повітря, прийняти однакової по глибині і рівної =1,2 кг/м³.

Відповідь: Н = 465 м.

 

 

Тема 3. СИЛА ТИСКУ РІДИНИ НА СТІНКИ. ЗАКОН АРХІМЕДА

 

Тиск рідини на дно судини. Сила тиску рідини на плоскі стінки. Центр тиску. Сила тиску рідини на криволінійні стінки. Поняття про тіло тиску. Закон Архімеда і його застосування в техніку. Умови плавання тел.

Література: [3], 33—42; [6], 34—48; [11], 66—81; [12], 66—77; [15], 51— 64.

Методичні вказівки

Після розгляду загального випадку тиску рідини на плоскі стінки варто розглянути також окремий випадок: визначення сили тиску і центра тиску для стінки прямокутної форми. Розглядаючи епюри тиску на плоскі стінки, корисно згадати про застосування епюр навантаження в задачах за курсом опору матеріалів.

При вивченні питання про силу тиску на криволінійні стінки потрібно звернути увагу на те, що елементарні сили тиску, що діють нормально на кожну елементарну площадку стінки, мають різні напрямки. Для спрощення перебування повної сили тиску (щоб уникнути застосування криволінійних інтегралів) приходиться визначати спочатку складові сили тиску по заданих напрямках (звичайно прямокутним осям координат), а потім уже геометричним їх додаванням знаходити повну силу тиску на криволінійну стінку.

Варто засвоїти метод визначення горизонтальної і вертикальної складових цієї сили, звернувши особливу увагу на правило перебування тіла тиску. Для цього можна скористатися наступним визначенням: тіло тиску — це обсяг, обмежений розглянутою криволінійною стінкою, змоченою рідиною, вертикальною поверхнею, проведеною через контур цієї стінки, і горизонтальною площиною, проведеною по вільній поверхні рідини. Треба також розглянути поняття про реальний (позитивний) і фіктивний (негативний) тіла тиску.

Приклад. 1. Визначити мінімальну масу m (кг) вантажу, здатного удержати прямокутний щит у закритому положенні при рівні води в каналі Н = 5 м, якщо розміри щита h = 3 м, b = 2 м, довжина важеля, на якому укріплений вантаж, l = 3 м. Щит може повертатися навколо шарніра О. Над шарніром знаходяться нерухомі балки, кінці яких забиті в бічні стінки каналу.

Сила ваги мінімального вантажу Q, може бути знайдена з рівняння моментів, складеного щодо крапки О:

де Р = gh_cF — сила тиску води на щит;

D_O = h _д — К _О=h_д — (Н — h ) — плече сили Р;

F = b · h = 2 · 3 = 6 м² -площа щита;

h_c = Н – h/2 = 5 - 3/2 = 3.5 м - відстань центру ваги щита від вільної поверхні води;

h_д = h_c + I₀/h_c · F - відстань центру тиску (крапки додатку сили тиску води на щит D ); від вільної поверхні;

I₀ = b·h³/12 = 2·3³/12 = 4,5 м⁴ - момент інерції щита щодо горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

h_д = 3,5 + 4,5/(3,5·6) = 3,71 м

D_O = 3,71- (5 — 3)= 1,71 м

і Р = 1000 · 9,81 · 3,5 · 6 = 206 · 10³ н;

тоді Q = 206 · 10³ · 1.71 / 3 = 128 ·10³ н,

і m = Q / g = 128 10³ / 9.81 = 12000 кг

Приклад 2. Визначити зусилля Q (н), яке потрібно прикласти до кульового клапана для того, щоб підняти його із сідла, якщо маса клапана m = 500 м, радіус клапана R = 40 мм, а висота рівня бензину в баці Н=1 м. Відносна щільність бензину 0,715.

З боку бензину на клапан діє сила тиску, що може бути знайдена по формулі:

де Р_х і Р_z— відповідно горизонтальна і вертикальна складові сили тиску бензину на виступаючу в рідину поверхня клапана (половину сфери радіуса R)

Тому що виступаюча в рідину поверхня клапана симетрична щодо вертикальної площини, що проходить через центр кулі, то горизонтальна складова сили тиску Р_х=Р'_х — Р"_х = 0, отже, Р = Р_z..

Вертикальна складова сили тиску рідини на криволінійну стінку дорівнює силі ваги рідини в обсязі тіла тиску

Р_z =

У розглянутому випадку обсяг тіла тиску (відповідно до приведеного вище визначенням) дорівнює різниці обсягів циліндра висотою Н и радіуса R і півсфери радіуса R (див. заштрихований обсяг), тобто

V=V_ц - ½·V_ш=

Щільність бензину =0,715·1000 = 715 кг/м³.

Тоді Р_z = 715 · 9,81 · 4,9 · 10^-3 = 34,3 Н.

Спроектуємо всі діючі на клапан сили на вертикальну вісь:

— Р₂ — G + Q = 0, де G = m·g = 0,5 · 9,81 = 4,9 Н.

Тоді Q= Р_z +G=34,3 + 4,9 = 39,2 Н.

Приклад 3. Понтон, що має форму паралелепіпеда, з розмірами: довжина L = 4 м, ширина В = 2 м, висота Н = 0,7 м і масою m₀= 800 кг, плаває у воді. Визначити:

а) осаду (глибину занурення) понтона без навантаження h' (мм);

б) граничну вантажопідйомність понтона m (кг) при висоті його бортів над ватерлінією е = 200 мм.

а) Понтон, що плаває у воді, знаходиться в рівновазі під дією сили ваги G_о й архімедової сили Р', отже,

- G₀ + Р' = 0 чи Р' = G₀ = m_оg.

Відповідно до закону Архімеда

P^/ =

Тоді

б) Навантажений понтон знаходиться в рівновазі під дією сил ваги вантажу Qі понтона G_о й архімедової сили Р", отже,

— Q — G₀ + Р" = 0, або Q = P" — G₀.

Відповідно до закону Архімеда

Р"=

Тоді Q = 39200 – 800·9.81=31.3·10³ н

Питання і задачі для самоперевірки

1. У чому полягає сутність гідростатичного парадокса?

2. Що таке центр тиску? У якому випадку центр тиску збігається з центром ваги стінки?

3. Як визначаються графоаналітичним способом сила тиску і центр тиску для прямокутної бічної стінки?

4. Як визначаються горизонтальна і вертикальна складові сили тиску рідини на криволінійну стінку?

5. Приведіть формулювання закону Архімеда і приклади застосування його в техніку.

6. Визначити силу тиску води Р (кн) на перемичку в шахтній; виробленню прямокутного перетину висотою h = 2 м і шириною b = 3 м, а так само вертикальну координату центратиску h _д(м), якщо висота шаруючи води Н= 5 м.

Відповідь Р = 235 кн, h_д = 4,08 м.

7. Визначити силу тиску води Р (кн) на циліндричний затвор греблі, а також кут нахилу до обрію лінії дії цієї сили , якщо ширина затвора В=10 м, радіус затвора R = 2 м, а висота води Н = 2 м

Відповідь: Р = 366 кн, а= 57°30'.

8. Визначити висоту виступаючої над водою частини крижини h (мм), якщо площа крижини F = 7 м², а її товщина t = 0,4 м, маса людини m= 70 кг, відносна щільність льоду _л=0,9.

Відповідь: h = 30 мм.

 

Тема 4. КІНЕМАТИКА РІДИНИ

Особливості задач гідродинаміки. Моделі рідини. Способи вивчення й опису руху рідини. Види руху рідини. Кінематичні і гідравлічні елементи потоку. Місцева і середня швидкість, витрата рідини. Рівняння нерозривності потоку.

Література: [3], 50—54; 68—74; [6], 49—51, 56—59, 79—82; [11], 82—91; [12], 82—93; [15], 69—87; 91—33.

Методичні вказівки

Для математичного опису явищ руху рідини в гідродинаміці вводять моделі як самої рідини, так і її руху. Варто познайомитися з основними моделями: ідеальна рідина (нев'язка нестислива рідина) і струменева модель потоку.

Існує два способи вивчення й опису руху рідини: Лагранжа і Ейлера. При вивченні руху рідини по трубах, шахтним виробленням і т.п. застосовується звичайно останній метод.

При вивченні видів руху рідини потрібно привести приклади, що характеризують кожен вид руху.

Ознайомивши з кінематичними елементами потоку (лінією струму, трубкою струму, елементарним струмком), варто розглянути властивості елементарного струмка при усталеному русі.

Варто знати, що витрата рідини може бути об'ємним (м3/сек) і масовим (кг/сек). У гідравліці користаються звичайно об'ємною витратою.

Потрібно запам'ятати висновок рівняння чи нерозривності суцільності, тому що воно має дуже важливе значення, як при дослідженні різних теоретичних питань, так і для рішення багатьох практичних задач.

Питання і задачі для самоперевірки

1. Дайте визначення ідеальної рідини і струменеві моделі потоку.

2. У чому полягає сутність способів вивчення руху рідини?

3. Охарактеризуйте стале і нестале рухи рідини. Приведіть приклади цих видів руху.

4. Дайте визначення і приведіть приклади рівномірного, нерівномірного і плавно змінюється руху рідини.

5. У чому розходження між напірним і безнапірним (вільним) рухом рідини?

6. Дайте визначення лінії струму, трубки струму, елементарного струмка.

7. Що такий живий перетин, змочений периметр, гідравлічний радіус і які їхньої розмірності?

8. Напишіть рівняння витрати рідини.

9. Чим відрізняється рівняння нерозривності для потоку газу від рівняння нерозривності для потоку краплинної рідини?

10. Визначити середні швидкості води в

перетинах трубопроводу з d₁ = 100 мм,

d ₂ =125 мм і d₃ = 75 мм, якщо витрата води

по трубопроводу Q== 50 м³/год.

Відповідь: v₁ = 1,78м/сек,v₂= 1,13м/сек, v₃=3,14м/сек.