Сечение многогранника плоскостью

 

 

1. Понятие о позиционной задаче. Напомним, что плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки многогранника. Сечением многогранника плоскостью называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

На рис. 30 изображена треугольная призма . (На этом проекционном чертеже изображения точек обозначены теми же буквами, что и соответствующие точки-оригиналы). Представим, что нам необходимо отметить точки: а) М, лежащую на ребре ; б) N, лежащую в грани ; в) , лежащую внутри призмы.

Если мы изобразим эти точки так, как это сделано на рисунке а), то лишь про точку М можно условно сказать, что она лежит на ребре . Положение точек N и K по этому рисунку определить нельзя. Рисунок б) уже позволяет заключить, что точка N лежит в грани , а точка –

внутри призмы. За счет чего можно сделать эти выводы? Дело в том, что на втором рисунке мы задали проекции точек N и K на плоскость основания параллельно боковым ребрам призмы. Строго говоря, для того, чтобы быть уверенным, что и точка М лежит на ребре , одних зрительных восприятий также недостаточно. (В проектировании, с помощью которого выполнялось изображение призмы, точка М служит проекцией любой точки прямой, параллельной направлению проектирования и через нее проходящей.)

Если же указать, что при проектировании, параллельном боковым ребрам призмы, точка М проектируется на основание в точку А, то такая уверенность появляется.

Аналогичная ситуация показана на рис. 31. Здесь нужно отметить точки: а) М на боковом ребре SA; б) N – в грани SАB;
в) К – внутри пирамиды. Разница заключается в том, что на правом рисунке используется центральное проектирование отмечаемых точек на плоскость основания пирамиды из ее вершины S.

Для того чтобы сделать изображение наглядным, в рассмотренных примерах приходится использовать не одно проектирование, а два. Первое проектирование, с помощью которого выполнено изображение многогранника, называется внешним. Второе проектирование носит вспомогательный характер. Оно связано с самой фигурой, – это, как правило, проектирование на плоскость, содержащую одну из граней многогранника. Мы будем иметь дело только с призмами и пирамидами, а в качестве такой плоскости чаще всего выбирать плоскость их основания. Вспомогательное проектирование называется внутренним. Из рассмотренных примеров видно, что для призмы удобно использовать внутреннее параллельное проектирование, а для пирамиды – центральное.

Пусть F ₀ – некоторая фигура в пространстве, которая параллельно проектируется на плоскость p (внешнее проектирование). Для того чтобы изображение фигуры было наглядным, мы выбираем в пространстве некоторую плоскость , отличную от плоскости p, и рассматриваем новое проектирование, параллельное или центральное, точек фигуры F ₀ на эту плоскость (внутреннее проектирование).

Рассмотрим в пространстве точку М ₀ и ее проекцию на плоскость p₀¢ при внутреннем проектировании. Обе эти точки спроектируем на плоскость p. При этом проекция М точки М ₀ называется основной (или просто проекцией), а проекция М¢ точки – вторичной.

Если для точки М ₀ фигуры F ₀ известны ее проекция и вторичная проекция, то по изображению мы можем судить о положении этой точки на оригинале. В этом случае говорят, что точка М ₀, принадлежащая фигуре F ₀, является заданной на проекционном чертеже. Изображение фигуры F ₀, на котором каждая точка фигуры является заданной, называется полным.

На проекционных чертежах часто приходится решать задачи о нахождении пересечения различных фигур. Такие задачи называются позиционными. Если некоторое изображение является полным, то на этом изображении разрешима любая позиционная задача.

В заключение заметим следующее. Если M ₀ ¢, N ₀¢, K ₀¢,... – образы точек M ₀, N ₀, K ₀,... при внутреннем проектировании, то при внешнем проектировании (параллельном) образы MM¢, NN ¢, KK ¢, ... параллельных прямых M ₀ M ₀¢, N ₀ N ₀¢, K ₀ K ₀¢, ... на плоскости p также будут параллельными. Если же M ₀¢, N ₀¢, K ₀¢, ... – образы точек M ₀, N ₀, K ₀,... при внутреннем центральном проектировании с центром S ₀, то образы MM ¢, NN ¢, KK ¢, ... прямых M ₀ M ₀¢, N ₀ N ₀¢, K ₀ K ₀¢,... при внешнем проектировании пересекаются на плоскости p в одной точке S. Эта точка будет образом точки S ₀.

Среди позиционных задач нас будут интересовать только задачи, связанные с построением сечений многоугольников. Рассмотрим основные методы построения таких сечений. Обычно при решении стереометрических задач образы точек фигуры на проекционном чертеже обозначают теми же буквами, что и соответствующие им точки на фигуре-оригинале. Мы также в дальнейшем будем придерживаться этого правила.

 

2. Построения сечений, основанные на свойствах параллельных прямых и плоскостей. Данный способ особенно часто используется при построении сечений параллелепипедов. Это объясняется тем, что противоположные грани параллелепипеда параллельны. По теореме о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью линии пересечения параллельных граней являются параллельными отрезками.

 

Задача 1. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является параллелограмм. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку , лежащую на боковом ребре AS, параллельно диагонали BD основания.

Сколько таких плоскостей можно построить? Какие фигуры могут получаться в сечении?

Решение. В плоскости основания пирамиды проведем произвольную прямую a, параллельную диагонали BD. Через эту прямую и точку проходит плоскость a, и притом единственная. По признаку параллельности прямой и плоскости и, значит, плоскость a является искомой.

В плоскости основания существует бесконечно много прямых, параллельных прямой BD, поэтому существует бесконечно много плоскостей, удовлетворяющих условию задачи.

Вид многоугольника, получающегося в сечении, зависит от числа граней, которые пересекает плоскость a. Так как четырехугольная пирамида имеет пять граней, то в сечении могут получаться треугольники, четырехугольники и пятиугольники.

На рис. 32 показаны различные случаи расположения прямой a относительно параллелограмма ABCD. Очевидно, что в зависимости от этого расположения будет определяться вид многоугольника-сечения.

Слева на рис. 33 рассмотрен случай, когда прямая a ₁ пересекает стороны AD, AB в точках M, N соответственно и лежит с точкой в одном полупространстве с границей BSD. Здесь сечением является треугольник MKN.

На правом рисунке показан случай, когда прямая a ₃ лежит с точкой по разные стороны от плоскости BSD и пересекает стороны DC, BC основания в точках M, N соответственно. Обозначим через Х точку пересечения прямых AD и a ₃. Так как прямая AD лежит в плоскости грани ASD, то в этой грани лежит и точка Х. С другой стороны, точка Х принадлежит прямой a ₃, лежащей в секущей плоскости. Поэтому прямая будет линией пересечения секущей плоскости и плоскости грани ASD. Это позволяет найти точку R=SD Ç KX. Аналогично, точка позволяет построить вершину T Î BS искомого сечения. В рассмотренном случае секущая плоскость пересекает все грани пирамиды и сечение является пятиугольником.

Остальные случаи взаимного расположения прямой a и основания пирамиды рассмотрите самостоятельно.

Рассмотрим специальные методы построения сечений.

 

4. Метод следов. Если секущая плоскость не параллельна грани многогранника, то она пересекает плоскость этой грани по прямой. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани многогранника, называется следом секущей плоскости на плоскости этой грани. Один из методов построения сечений многогранников основан на использовании следа секущей плоскости на плоскости одной из его граней. Чаще всего при построении сечений призмы и усеченной пирамиды в качестве такой плоскости выбирается плоскость нижнего основания, а в случае пирамиды – плоскость ее основания.

Рассмотрим построение сечений методом следов на примерах.

Задача 2. Дано изображение четырехугольной призмы ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Задать три точки, принадлежащие ее различным боковым граням, и построить сечение, проходящее через эти три точки.

Решение. Напомним, что для задания точки на проекционном чертеже необходимо задать ее основную и вторичную проекции. В случае призмы для задания вторичных проекций мы договорились использовать внутреннее параллельное проектирование. Поэтому, чтобы задать точку М, лежащую в грани АВВ ₁ А ₁, указываем ее проекцию М ₁на плоскость основания параллельно боковым ребрам призмы. Аналогично задаются точки N и K, лежащие в гранях AD ₁ DA ₁, CDD ₁ C ₁ соответственно (рис. 34). Построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания призмы. Параллельные прямые ММ ₁, лежат в одной плоскости и, значит, в общем случае прямые , пересекаются в некоторой точке Х. Так как прямая лежит в секущей плоскости, а прямая – в плоскости нижнего основания, то точка Х принадлежит следу секущей плоскости на плоскости нижнего основания призмы. Аналогично, точки K, N и их вторичные проекции K ₁, N ₁ позволяют найти вторую точку Y, принадлежащую искомому следу.

Прямая АВ, лежащая в грани АВВ ₁ А ₁, пересекает след XY в точке Z, поэтому прямая MZ лежит как в плоскости грани АВВ ₁ А ₁, так и в секущей плоскости. Отрезок ТР, где T=MZ Ç AA ₁, P=MZ Ç BB ₁, будет стороной многоугольника-сечения. Далее последовательно строим его стороны TR и RQ, проходящие через данные точки N и K соответственно. Наконец, строим сторону PQ.

 

Задача 3. Дано изображение пятиугольной пирамиды SABCDE. Задать точки N и K, принадлежащие боковым ребрам SC, SD соответственно и точку М, лежащую в грани ASE. Построить сечение, проходящее через заданные точки.

Решение. Для задания точек K, N и М воспользуемся внутренним центральным проектированием с центром в вершине пирамиды. При этом проекциями точек K и N будут точки D и C, а проекцией точки М – точка (рис. 35).

Прямые и , лежащие в плоскости , в общем случае пересекаются в точке Х, лежащей в секущей плоскости. С другой стороны, точка Х лежит в плоскости основания, и, значит, она принадлежит следу секущей плоскости на плоскости основания. Второй точкой искомого следа будет точка . Прямая АЕ, лежащая в грани ASE пирамиды, пересекает след XY в точке Z. Проводя прямую ZМ, находим сторону LP многоугольника-сечения. Для того чтобы найти вершину сечения, строим точку , а затем прямую .

 

5. Метод внутреннего проектирования. Суть этого метода заключается в том, что здесь с помощью внутреннего проектирования точки сечения ищутся по их известным вторичным проекциям. Метод внутреннего проектирования особенно удобно применять в тех случаях, когда след секущей плоскости далеко удален от заданной фигуры. Этот метод незаменим и тогда, когда некоторые из прямых, содержащих стороны основания многогранника, пересекают след за пределами чертежа. Рассмотрим применение метода на примерах.

 

Задача 4. Дано изображение шестиугольной призмы и трех точек, лежащих в трех боковых гранях, никакие две из которых не являются смежными. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданные точки.

Решение. Пусть заданные точки М, L, K лежат в гранях , , , а M¢, L¢, K¢ – их вторичные проекции
(рис. 36).

Найдем точку, в которой секущая плоскость пересекает боковое ребро . Для этого с помощью внутреннего проектирования для точки найдем основную проекцию Х, лежащую в секущей плоскости. Искомая точка Х является точкой пересечения прямой, проходящей через точку Х¢ параллельно боковым ребрам призмы, и прямой ML, лежащей в секущей плоскости. Точка Х позволяет построить вершину , а затем сторону QR сечения. Аналогично, используя точку , строим точку Y, прямую KY и находим вершину Р сечения. Далее строятся стороны PQ и PO сечения.

Оставшиеся построения выполняем в следующей последовательности:

1) строим точку Z¢=AK¢ Ç BD;

2) находим точку Z (Z Î PK);

3) проводим прямую OZ и находим вершину S (S Î DD ₁) сечения;

4) последовательно строим стороны SR, ST и TO сечения.

 

Задача 5. Дано изображение четырехугольной пирамиды и трех точек, лежащих на ее боковых ребрах. Построить сечение, проходящее через заданные точки.

Решение. Пусть SABCD – данная пирамида, а M, N, K – данные точки (рис. 37). Вторичными проекциями точек M, N, K во внутреннем центральном проектировании из вершины S на плоскость основания являются точки A, C и D соответственно. Заметим, что в данной задаче стороны и KN сечения сразу строятся. Остается найти только вершину сечения L, лежащую на боковом ребре SB. Для этого построим точку и «поднимем» ее в секущую плоскость с помощью внутреннего проектирования. Прообразом точки Х¢ при этом центральном проектировании будет точка Х=Х¢S Ç MN. Вершина L, принадлежащая ребру SB, лежит на прямой KX.

 

6. Комбинированный метод. Суть этого метода заключается в сочетании метода следов или метода внутреннего проектирования с построениями, выполняемыми на основе свойств параллельных прямых и плоскостей.

 

Рассмотрим следующий пример.

 

Задача 6. Точка М является серединой ребра AD куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно диагонали ВD основания и диагонали АВ ₁ боковой грани АА ₁ В ₁ В.

Решение. Секущая плоскость a параллельна диагонали BD основания и проходит через точку М, также лежащую в основании, поэтому она пересекает основание по прямой
(рис. 38).

Прямая l будет следом плоскости a на плоскости нижнего основания куба. Обозначим . След m плоскости a на плоскости грани АВВ ₁ А ₁ строится аналогично. Этот след проходит через точку N, параллельно АВ ₁. Обозначим .

Можно продолжить построение сечения, не прибегая к специальным методам. Однако мы воспользуемся методом следов. Пусть прямая ВС пересекает след l в точке Х. Точки Х и искомой плоскости a лежат и в плоскости грани ВСС ₁ В ₁. Обозначим через L точку пересечения прямой и ребра В ₁ С ₁. Далее удобно воспользоваться теоремой о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. В силу этой теоремы , . Здесь R Î DD ₁, P Î C ₁ D ₁.

Докажите, что полученный в сечении шестиугольник является правильным.

 

Изображение окружности

 

 

1. Эллипс и его свойства. При изображении цилиндра, конуса и шара (сферы) нам придется вычерчивать эллипсы. Эллипс можно определить различными способами. Приведем определение с помощью сжатия плоскости к прямой.

Эллипсом называется линия, которая является образом окружности при сжатии плоскости к прямой, проходящей через центр окружности (рис. 39).

Если заданы окружность, прямая, проходящая через ее центр, и коэффициент сжатия, с помощью приведенного определения легко построить образ любой точки заданной окружности. Выполнив построение нескольких точек-образов и соединив их плавной линией, можно вычертить эллипс, который является образом окружности.

Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы ее ось Ox совпала с прямой сжатия l, а начало О было центром окружности w радиуса a (рис. 40). В этой системе координат окружность w определяется уравнением: или

. (1)

Это значит, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (1), принадлежит окружности w, а точка, координаты которой не удовлетворяют (1) – не принадлежит.

Пусть – коэффициент сжатия, – произвольная точка плоскости, а М ₀ – ее проекция на прямую l. При сжатии к точка М переходит в точку такую, что . Так как прямая ММ ₁ параллельна оси Oy, то , а проекция М ₀ этих точек на прямую сжатия Ox определяется координатами .

Отсюда , . Поэтому формулы сжатия имеют вид

(2)

Обратно, формулы (2) определяют сжатие плоскости к оси Ox с коэффициентом сжатия , в котором точка переходит в точку .

Из этих формул , . Подставляя x и y в уравнение (1), получим: . Значит, координаты точки М ₁, являющейся образом точки окружности, удовлетворяют уравнению

, (3)

где . Это уравнение в системе Oxy определяет эллипс g, который получается при сжатии окружности w к оси Ox. Напомним, что уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса.

Используя каноническое уравнение эллипса, можно изучать его геометрические свойства. Вспомним некоторые понятия, связанные с эллипсом, и его свойства.

Пусть эллипс g задан в прямоугольной системе координат каноническим уравнением (3). Так как x и y входят в это уравнение во второй степени, то можно сделать следующие выводы.

Если , то Î g (рис. 41). Отсюда следует, что начало координат О является центром симметрии эллипса. Центр симметрии эллипса называется его центром.

Если , то , . Отсюда следует, что прямые Ox и Oy являются осями симметрии эллипса. Оси симметрии эллипса называются его осями. Каждая из осей пересекает эллипс в двух точках. Ось Ox имеет уравнение , поэтому из уравнения (3) для абсцисс точек А ₁, А₂ пересечения имеем . Отсюда А ₁(a;0), А ₂(– a;0). Аналогично находим, что ось Oy пересекает эллипс в точках В ₁(0; b) и В ₂(0;– b). Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Отрезки А ₁ А ₂и В ₁ В ₂также называются осями эллипса. Центр эллипса О является общей серединой каждого из этих отрезков.

Отрезок, концы которого принадлежат эллипсу,называется хордой этого эллипса. Хорда эллипса, проходящая через его центр, называется диаметром эллипса. Значит, оси эллипса являются его взаимно перпендикулярными диаметрами.

Заметим, что при , имеем . В этом случае A ₁ A ₂ >B ₁ B ₂ и отрезки A ₁ A ₂, B ₁ B ₂ называются соответственно большой и малой осями эллипса. При этом числа , называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. При , наоборот, . Здесь названия осей меняются соответствующим образом.

Рассмотрим параметрические уравнения эллипса и основанный на них способ построения точек эллипса.

Пусть отрезки А ₁ А ₂ и В ₁ В ₂ являются осями эллипса. Построим на них, как на диаметрах, концентрические окружности w ₁ и w ₂ соответственно (рис. 42). Рассмотрим луч h с началом в точке О. Этот луч пересекает окружности w ₁ и w ₂ в точках М ₁ и М ₂. Через точку М ₁ проведем прямую, параллельную малой оси В ₁ В ₂, а через точку М ₂ – прямую, параллельную большой оси А ₁ А ₂. Покажем, что точка М пересечения этих прямых принадлежит эллипсу с заданными осями.

Выберем прямоугольную систему координат Oxy с началом в точке О. Пусть в этой системе точка М имеет координаты (x; y). Далее, пусть луч h образует с лучом ОА ₁ угол t. Если , то , . Поскольку точки М и М ₁ имеют равные абсциссы, а точки М и М ₂ – равные ординаты,

, . (4)

Из равенств (4) , , поэтому в силу основного тригонометрического тождества имеем , т.е. построенная точка принадлежит эллипсу с полуосями a и b.

Для любого значения t Î[0;2 p) точка M (x; y), координаты которой вычисляются по формулам (4), принадлежит эллипсу. Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями эллипса.

Из школьного курса геометрии известно, что диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Отсюда следует, что каждый из двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. При сжатии образами взаимно перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса. Познакомимся с этими диаметрами.

Два диаметра эллипса называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Так как при сжатии плоскости к прямой середина отрезка отображается в середину отрезка, а параллельные прямые переходят в параллельные, то при сжатии окружности к прямой, проходящей через еe центр:

– диаметр окружности переходит в диаметр эллипса;

– центр окружности переходит в центр эллипса;

– взаимно перпендикулярные диаметры окружности переходят в сопряженные диаметры эллипса;

– касательная к окружности переходит в касательную к эллипсу, при этом она параллельна диаметру, который сопряжен диаметру, проведенному через точку касания.

Ясно, что оси эллипса являются его сопряженными диаметрами. Можно доказать, что любая другая пара сопряженных диаметров эллипса уже не является перпендикулярной.

При построении изображений круглых тел достаточно часто приходится строить эллипсы по их сопряженным диаметрам. Рассмотрим, как выполняется это построение.

Возьмем окружность и построим пару ее взаимно перпендикулярных диаметров и . Через концы диаметров проведем касательные к окружности (рис. 43). Полученный при этом квадрат изображается произвольным параллелограммом . Взаимно перпендикулярные диаметры окружности при этом изобразятся средними линиями и параллелограмма. Для искомого эллипса эти средние линии будут сопряженными диаметрами.

Пусть – произвольная точка окружности и , . Прямоугольные треугольники и будут равны по катету и острому углу (, – углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Следовательно, и .

По свойству 3 параллельного проектирования

, . (5)

Поэтому

. (6)

Итак, из пропорций (5) следует способ построения точек и , соответствующих точкам и . Точка , соответствующая точке , строится как пересечение прямых и .

При построениях эллипса по паре сопряженных диаметром вновь нет необходимости строить окружность-оригинал и ее взаимно перпендикулярные диаметры. Если на стороне параллелограмма, построенного на сопряженных диаметрах (как средних линиях), взять произвольную точку , а средней линии , пользуясь пропорцией (6), построить точку , то мы сможем найти точку эллипса: .

На практике для построения точек эллипса пару его противоположных сторон делят на равных частей. На столько же частей делят соединяющую их среднюю линию (см. рис. 44 для ). Для построения точек эллипса точки деления ломаной нумеруют по часовой стрелке номерами 1, 2, …, , а точки деления ломаной – по часовой стрелке номерами 1´, 2´, …, . Точки , , …, пересечения лучей и , и , …, и принадлежат искомому эллипсу. Аналогичным образом строится часть эллипса, расположенная ниже .

 

2. Эллипс как проекция окружности. Возьмем плоскости a и a¢, пересекающиеся по прямой a, и плоскость b, перпендикулярную к a. Рассмотрим параллельное проектирование плоскости a на плоскость a¢ в направлении прямой l, параллельной b. Пусть М – произвольная точка плоскости a, а М¢ Î a¢ – ее проекция. Плоскость, проходящая через ММ¢ перпендикулярно a, пересечет эту прямую в точке М ₀. При этом угол ММ ₀ М¢ будет линейным углом двугранного угла, получающегося при пересечении плоскостей a и a¢
(рис. 44). Обозначим величину этого угла через j, а величину угла ММ¢М ₀, образованного прямой ММ¢ с плоскостью a¢, – через y. По теореме синусов: . Отсюда .

Повернем плоскость a вокруг прямой a до совмещения с плоскостью a¢ так, чтобы лучи М ₀ М и М ₀ М¢, перпендикулярные прямой a, совместились. Так как при этом

1) величина >0 является для любой пары точек М и М¢ постоянной;

2) точки М и М¢ лежат в одной полуплоскости с границей a;

3) ММ¢ ^ a;

4) М ₀ М¢ = k М ₀ М,

то , где .

Отсюда следует, что на совмещенной плоскости точка М¢ является образом точки М при сжатии этой плоскости к прямой a с коэффициентом сжатия k.

Рассмотрим теперь окружность w, лежащую в плоскости a, центр которой принадлежит прямой a (рис. 45). Ясно, что после совмещения плоскостей a, a¢ и последующего сжатия к прямой a, эта окружность перейдет в эллипс w¢.

Заметим, что если плоскость p параллельна плоскости a¢, то проекция окружности w на плоскость p есть эллипс, равный эллипсу w¢. Таким образом, если a, p – две непараллельные плоскости, b – плоскость, им перпендикулярная, и в плоскости a дана окружность w, то ее проекция на плоскость p в направлении прямой, параллельной плоскости b, есть эллипс.

Пусть АВ – диаметр окружности w, лежащий на прямой a пересечения плоскостей a и a¢, CD – перпендикулярный ему диаметр этой окружности. Проекцией диаметра АВ будет сам диаметр, а проекцией диаметра CD – диаметр эллипса C¢D¢. При этом C¢D¢ ^ АВ. Поэтому отрезки АВ и C¢D¢ будут осями эллипса w¢. За счет выбора направления проектирования мы всегда можем добиться того, чтобы C¢D¢ < АВ. Отметим также, что при проектировании окружности w на плоскость p, параллельную плоскости a¢, диаметры АВ и CD окружности спроектируются в оси эллипса, равного эллипсу w¢.

Итак, проекция окружности w на плоскость p есть эллипс. Этот эллипс, а также любой эллипс, ему подобный, будет изображением окружности w. Далее, можно показать (мы это делать не будем), что произвольный эллипс можно принять за изображение окружности.

 

3. Изображение вписанных и описанных многоугольников. Среди школьных стереометрических задач часто встречаются задачи, в которых рассматриваются комбинации правильных многогранников и круглых тел. При построении чертежей к этим задачам надо уметь строить изображения правильных многоугольников, вписанных в окружность и описанных около нее.

Задача 1. Построить изображение правильного треугольника, вписанного в окружность.

Решение. Правильный треугольник А ₀ В ₀ С ₀, вписанный в окружность w ₀, показан на рис. 3. Проведем взаимно перпендикулярные диаметры A ₀ D ₀, Е ₀ F ₀ окружности w ₀ Диаметр A ₀ D ₀ будет содержать медиану , а диаметр Е ₀ F ₀ будет параллелен стороне В ₀ С ₀. Центр О ₀ окружности является точкой пересечения медиан треугольника. Поэтому , и значит, .

При построении изображений многоугольников, вписанных в окружность и описанных около нее, будем считать эллипс – изображение окружности – заданным. С этого эллипса и будем всякий раз начинать построение. Эллипс примем за изображение окружности w ₀. Если оси AD, EF эллипса считать изображениями диаметров A ₀ D ₀, E ₀ F ₀ окружности, то точка А будет изображением вершины А ₀ треугольника А ₀ В ₀ С ₀. При параллельном проектировании и подобии середина отрезка переходит в середину отрезка, а параллельные прямые – в параллельные. Поэтому изображением точки будет такая точка А¢ Î AD, что , а хорда ВС эллипса, параллельная диаметру EF и проходящая через точку А¢, будет изображением стороны В ₀ С ₀ (рис. 47).

Рассмотрим теперь случай, когда сопряженные диаметры эллипса, изображающие перпендикулярные диаметры окружности, не являются осями. Здесь первоначально строится пара сопряженных диаметров AD и EF эллипса (на основе их определения: , ), а далее задача решается аналогично (рис. 48).

 

Задача 2. Построить изображение правильного треугольника, описанного около окружности.

Решение. Фигура-оригинал в этой задаче дана на рис. 49. Центр вписанной окружности также совпадает с центром треугольника. Поэтому A ₀ K ₀: K ₀ D ₀ = 1:2, а средняя линия M ₀ N ₀ треугольника пересекает медиану A ₀ D ₀ в точке L ₀ такой, что A ₀ L ₀ =L ₀ D ₀.

На рис. 50 дано требуемое изображение в том случае, когда перпендикулярные диаметры окружности изображаются осями эллипса, а на рис. 51 показан случай, когда эти диаметры изображаются произвольными сопряженными диаметрами эллипса. Объясните, как выполнены эти изображения.