Производная и дифференциал функции

1. Понятие производной. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x.

Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента Δ x при , если таковой существует:

(1)

Другое обозначение производной: . В физике часто производную по времени обозначают точкой над значком функции: .

Вводят также понятия односторонних производных, то есть правых (левых) производных, если предел в формуле (1) понимать как правый (левый) предел. Обозначаются правые - левые производные соответственно. Например,

Для того, чтобы существовала производная в точке x, необходимо и достаточно, чтобы существовали равные между собой правая и левая производные, при этом

.

С точки зрения физики, производная от координаты пути по времени при прямолинейном равномерном движении материальной точки есть мгновенная скорость, . По аналогии с кинематической скоростью говорят, что производная от любой функции – это скорость изменения функции по данному аргументу.

 

С точки зрения геометрии, производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке x или угловому коэффициенту k касательной:

.

И тогда уравнение касательной в точке x ₀ к графику функции запишется:

Нормалью к кривой в данной точке x ₀ называется прямая, перпендикулярная к касательной в этой точке. Так как угол наклона нормали отличается на π/2 от угла наклона касательной α, то угловой коэффициент нормали равен и уравнение нормали имеет вид

2. Правила вычисления производных. Пусть функции имеют производняе в точке х. Тогда

2.5 Пусть функции имеют производные соответственно в точках . Тогда

2.6 Производная функции , если задана функция , имеет вид .

2.7 Производная функции, заданной параметрически имеет вид

2.8 Производная функции , заданной неявно уравнением , имеет вид .

Таблица производных

4. Понятие дифференциала. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение в точке x записывается в виде

(1)

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке. Потому функции имеющие производную называют дифференцируемыми, а операцию вычисления производной называют дифференцированием.

Главную линейную часть приращения функции называют дифференциалом функции и обозначают или .

(2)

Здесь для симметрии обозначено .

Из (2) получаем, что производная функции равна точному отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной

Данное выражение используется и как единый символ для обозначения производной. С учетом выражения (2) для дифференциала условие дифференцируемости можно записать

(3)

или (4)

или (5)