Производственная функция Кобба−Дугласа. Модель Р.Солоу

Модели экономического роста
Неоклассические	основаны на теории производства (производственная функция Кобба−Дугласа)
Кейнсианские	основаны на теории макроэкономического равновесия

Предпосылки анализа неоклассической модели экономического роста

• производственная функция Кобба−Дугласа Y = A×K^α×L^β, где A − коэффициент,отражающий уровень технологической производительности; в коротком периоде не изменяется; α, β − коэффициенты эластичности выпуска по капиталу и труду; • вклад каждого фактора производства (соответственно и его доход) определяется предельной производительностью (предельным продуктом); • стоимость продукции создается всеми факторами производства • факторы абсолютно взаимозаменяемы, эластичность их замещения равна 1; • отсутствие технического прогресса (экстенсивный тип экономического роста)

Модифицированная производственная функция с учетом НТП
способ учета НТП
ПФ с экзогенно (внешне) заданным НТП (Я.Тинберген, 1942)	технический прогресс является самостоятельным фактором наряду с трудом и капиталом
	Y = A× K^α × L^β× e^nt = f(K,L,t) e^nt − фактор времени, отражающий влияние технического прогресса
Производительность труда и капитала фиксируется на базовом уровне, а вклад НТП рассчитывается как остаток после вычитания из общего прироста объема выпуска долей труда и капитала: y = αK + βL + n n = y − (αK + βL) y − темп роста объема выпуска K, L, n − темп роста капитала, трудозатрат, изменения НТП соответственно Пример: y = 3.2%, K = 3%, L = 1%, n = 1.7% 3.2% = 0.25×3% + 0.75×1% + 1.7% 1.5% доля K и L (экстенсивные факторы) = 1.5% /3.2% ≈ 47% доля НТП (интенсивные факторы) = 1.7% /3.2% ≈ 53%
ПФ с эндогенно (внутренне) заданным НТП	технический прогресс повышает эффективность капитала и труда, изменяя их соотношения
Виды технического прогресса	Y = f(e^μtK, e^λtL)
нейтральный	не изменяет соотношения факторов производства и определяется ПФ с постоянной эластичностью замещения (тип CES − constant elacticity of substitution). Изокванты параллельны.
• по критерию Дж. Хикса	при заданной капиталовооруженности K/L эластичность замещения факторов производства постоянна при любом объеме выпуска: K/L − const→E_K^L = const
• по критерию Р. Харрода	НТП не меняет соотношения между капиталоотдачей и ставкой процента (средняя и предельная производительность капитала постоянны: AP_K, MP_K): Y/K = r

• по критерию Р.Солоу	НТП не меняет соотношения между производительностью труда и ставкой заработной платы: Y/L = w
не нейтральный	изменяет соотношения факторов производства и определяется ПФ с переменной эластичностью замещения (тип VES − variable elacticity of substitution). Изокванты не параллельны.
трудосберегающий (капиталоемкий)	труд экономится (замещается) за счет роста затрат капитала
капиталосберегающий (трудоемкий)	капитал экономится (замещается) за счет роста затрат труда

МОДЕЛЬ Р. СОЛОУ	разрабатывалась в 1950 − 1960 гг. В 1987 г. получил Нобелевскую премию по экономике за работы по теории экономического роста
Цели модели	• анализ влияния сбережений, роста населения и технического прогресса на экономический рост; • выяснение причин существенных различий в уровне жизни населения разных стран; • выбор устойчивого состояния экономики с максимальным уровнем потребления
Допущения базовой модели	• предложение товаров (AS) определяется ПФ Кобба-Дугласа с постоянной отдачей от масштаба: Y = A× K^α ×L^β, α + β = 1 • капитал и труд являются ресурсозаменителями; • конкурентные рынки факторов производства с гибким механизмом цен на них; • убывающая предельная производительность капитала; • постоянная норма выбытия (σ×k) и норма сбережений (sY); • неизменность численности населения и его занятой части (одинаковая динамика); • отсутствие технического прогресса.

1. Спрос и предложение определяют размеры накопления

AS определяется ПФ с постоянной отдачей от масштаба: Y = F(K,L). Разделив на L, получим: Y/L = F(K/L, 1) → y = f(k): производительность труда Y/L (= y) зависит только от размера капиталовооруженности K/L (= k) (объем производства на 1 работника есть функция от размера капитала на 1 работника) AD предъявляется со стороны потребителей и инвесторов: Y = C + I или в расчете на 1 работника y = c + i Функция потребления: с = (1 − s)y s − норма сбережения 0 < s < 1 Тогда y = (1 − s)y + i → i = sy → i = s×f(k) Потребление и инвестиции пропорциональны доходу i производственная функция определяет AS

AD = AS: f(k) = s накопление капитала определяет AD

2. Как накопление капитала обеспечивает экономический рост?
Динамика объема выпуска зависит от объема капитала, который в свою очередь зависит от объемов инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие − уменьшает. Инвестиции зависят от капиталовооруженности и нормы накопления: i = s×f(k)
	Норма накопления sопределяет деление продукта на потребление и накопление при любом значении k: y = f(k) i = s×f(k) c = f(k)− s×f(k)= (1−s) ×f(k) Угол наклона f(k) зависит от MP_K, который убывает с ростом капиталовооруженности k.
вывод
Норма сбережений определяет размер запаса капитала, а значит, и объем производства: чем выше s, тем выше капиталовооруженность k производительность труда y инвестиции i

	При норме выбытия σ−const ежегодно выбывает σ×k. Тогда изменение запаса капитала Δk = i − σ×k = s×f(k) − σ×k Запас капитала будет увеличиваться до уровня, при котором s×f(k) = σ×k, т.е. Δk = 0
Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называется устойчивым (равновесным) уровнем капиталовооруженности k^.* При его достижении экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия. Δk = 0: s×f(k) = σ×k
	Равновесие устойчиво, т.к. независимо от исходного значения k экономика будет стремиться к k^: k₁ < k^: i₁ > σ×k₁ → k↑ на величину чистых инвестиций k₂ > k^*: i₂ < σ×k₂ → k↓ на величину чистых инвестиций

3. Что произойдет при увеличении нормы сбережений?
	Повышение нормы сбережений s₁→s₂сдвигает кривую инвестиций вверх из s₁×f(k) →s₂×f(k). Инвестиции увеличились, а запас капитала k^₁ и выбытие σ×k₁^ не изменились: в точке k^₁ инвестиции i'₁ больше выбытия. Начнется рост запаса капитала до нового устойчивого уровня k^₂ с бόльшей капиталовооруженностью и производительностью труда.
выводы
1) при более высокой норме сбережений в состоянии устойчивого равновесия достигается и более высокий уровень выпуска и запаса капитала; 2) повышение нормы сбережений ускоряет экономический рост только в коротком периоде, до достижения нового устойчивого состояния.

4. Каковы оптимальные размеры накопления,или Золотое правило накопления
Совместимость равновесного экономического роста с различными нормами сбережений ставит задачу оптимизации этой нормы. Уровень накопления капитала, обеспечивающий устойчивое состояние с максимальным уровнем потребления, называется золотым уровнем накопления k^**.
	Уровень потребления на 1 занятого в устойчивом состоянии c^* = y − i = f(k^) − σ×k^→ max или i = s×f(k^) − σ×k^ (c^)' = [f(k^) − σ×k^]'_k = 0 или MP_K − σ = 0 при k^₁ < k^* прирост объема выпуска больше выбытия: f(k^₁) > σ×k^₁ → ↑c (MP_K > σ) при k^₂ > k^* прирост объема выпуска меньше выбытия: f(k^₂) < σ×k^₂ → ↓c (MP_K < σ) при k^** линии f(k^) и σ×k^имеют одинаковый наклон, а потребление − максимально.
вывод
при уровне капиталовооруженности, соответствующем "Золотому правилу", должно выполняться условие: MP_K = σ (предельный продукт капитала равен норме выбытия), или MP_K − σ = 0.

5. Переход к устойчивому состоянию по Золотому правилу

в исходном состоянии экономика имеет запас капитала больше, чем по Золотому правилу: k^* > k^**. В этом случае будет действовать программа по снижению нормы сбережений до уровня по Золотому правилу, что вызовет повышение уровня потребления в течение всего периода: ↓s → ↑c, ↓i → i < σ×k → ↓k → ↓y,c,i Но т.к. исходный запас капитала был очень высоким, потребление в новом устойчивом состоянии превышает исходный уровень.

	в исходном состоянии экономика имеет запас капитала меньше, чем по Золотому правилу: k^* < k^**. Это более сложный случай, т.к. необходимо сравнивать преимущества текущего потребления по отношению к будущему. В этой ситуации будет действовать программа по повышению нормы сбережений до уровня по Золотому правилу: ↑s → ↓c, ↑i → i > σ×k → ↑k → ↑y,c,i. В новом устойчивом состоянии потребление превышает исходный уровень.
Особенность данной ситуации	повышение нормы сбережений сопровождается значительным ускорением темпов роста в течение нескольких 10−летий (что подтверждают данные развития мировой экономики)
При прочих равных условиях страны с изначально низким уровнем развития имеют предпосылки для более быстрого и продолжительного экономического роста. Такой результат влияния исходных условий на темпы дальнейшего развития получил название "эффекта быстрого старта".

В бедных странах	даже незначительное увеличение инвестиций приводит к значительному росту производительности труда
В богатых странах с высокой технической оснащенностью	даже значительный прирост капиталовооруженности вызовет очень незначительное повышение производительности труда
Пример	в течение 30 лет (1961 −1991 гг.) США и Ю.Корея имели одинаковую норму накопления 22 − 25%. В США рост составил в среднем 2% в год, а в Ю.Корее − 6% в год.

6. Рост населения и технический прогресс как факторы экономического роста
Население и рабочая сила растут с постоянным темпом n. Тогда изменение запаса капитала составит: Δk = i − σk − nk или Δk = i − (σ + n)k: инвестиции увеличивают капиталовооруженность выбытие и рост населения − снижают, при этом рост населения уменьшает k, распределяя капитал между возросшим числом занятых
(σ + n)k	критическая величина инвестиций
	инвестиции, необходимые для поддержания запаса капитала на 1 работника на постоянном уровне: σkобеспечивает возмещение выбытия капитала nkобеспечивает капиталом в прежнем объеменовых работников
	в состоянии устойчивого равновесия k^достигается полная занятость ресурсов: Δk = s×f(k) − (σ + n)k = 0 → s×f(k^) = = (σ + n)k^*

Последствия роста населения	• в устойчивом состоянии k^*при росте населения с темпом n с тем же темпом должны возрастать капиталовооруженность k и производительность труда y (для сохранения их неизменными): ΔY/Y = ΔL/L = ΔK/K = n Рост населения не объясняет длительного повышения уровня жизни, т.к. производительность труда в устойчивом состоянии постоянна; но объясняет непрерывный рост ВНП.
	• страны с более высокими темпами роста населения имеют более низкий уровень ВНП на 1 душу населения
	• рост населения снижает капиталовооруженность по Золотому правилу, а значит, и доходы. c^* = f(k^) − (σ + n)k^ → max (c^)' = [f(k^) − (σ + n)k^]'_k = 0 MP_K = σ + nили MP_K − σ = n

Включение технического прогресса видоизменяет ПФ, т.к. предполагается трудосберегающая форма НТП: Y = F(K, L×E) E − коэффициент эффективности труда 1 работника L×E − эффективность единицы труда Технический прогресс вызовет рост эффективности труда E с постоянным темпом g:ΔE/E = g. L растет с темпом n (L×E) растет с темпом (n + g) E растет с темпом g
Условие устойчивого запаса капитала k^*	Δk = s×f(k) − (σ + n +g)k = 0 → s×f(k^) = (σ + n + g)k^
Уровень капиталовооруженности по Золотому правилу	c^* = f(k^) − (σ + n+ g)k^ → max (c^)' = [f(k^) − (σ + n+g)k^]'_k = 0 MP_K = σ + n + g или MP_K − σ = n + g
вывод
технический прогресс является единственным условием непрерывного повышения уровня жизни, т.к. только при его наличии наблюдается устойчивый рост производительности труда

Недостатки модели Р.СОЛОУ

• анализирует состояние устойчивого равновесия в долгом периоде, тогда как для экономической политики важна и краткосрочная динамика и производства, и уровня жизни; • не учитывает ряд ограничений роста − ресурсных, экологических, социальных; • производственная функция Кобба−Дугласа с постоянной отдачей от масштаба не всегда соответствует реальной ситуации; • основные переменные − s, σ, n, g − задаются извне.

Факторный анализ источников экономического роста в модели Р.Солоу

Y = AF(K,L) A − совокупная производительность факторов, отражающаятекущий уровень технологии ΔY ΔA ΔK ΔL = + α + (1 − α) Y A K L
темп прироста объема выпуска	вклад прироста совокупной производительности факторов	вклад капитала	вклад труда
Это уравнение позволяет рассчитать темп технического прогресса.
Совокупная производительность факторов рассчитывается по остаточномупринципу ("остаток Солоу"): ΔA/A = ΔY/Y − α × (ΔK/K) − (1 − α) × (ΔL/L)
Причины изменения "остатка Солоу"	• развитие знания о методах производства; • образование и государственное регулирование повышают качество обучения, что ведет к росту производительности труда → "остаток Солоу" увеличивается • мероприятия по охране окружающей среды и повышению безопасности труда увеличивают затраты капитала без какого−либо прироста продукции → "остаток Солоу" уменьшается
общий вывод	совокупная производительность факторов включает все, что меняет соотношение между объемом выпуска и затратами