Краткие сведения из теории автоматического управления

Цель работы

Целью данной работы является:

Ø изучение основных видов описания типовых динамических звеньев линейных систем автоматического регулирования: передаточными функциями, переходными и частотными характеристиками, весовыми функциями, корневыми годографами;

Ø исследование статических, динамических и частотных характеристик инерционного звена второго порядка;

Ø изучение взаимной связи между различными видами описания инерционного звена второго порядка;

Ø исследование влияния параметров передаточной функции инерционного звена второго порядка на его статические и динамические свойства.

Задание

1. Исследовать влияние параметров передаточной функции инерционного звена второго порядка на переходную, амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики.

2. Построить переходную, логарифмические амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики (ЛАХ и ФЧХ), амплитудно-фазовую характеристику (годограф, или АФЧХ) и амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) в линейном масштабе инерционного звена второго порядка для различных значений параметров передаточной функции при помощи программного комплекса МВТУ.

3. Сформулировать и записать в отчет выводы о влиянии параметров передаточной функции инерционного звена второго порядка на его статические и динамические свойства и на частотные характеристики.

Краткие сведения из теории автоматического управления

Инерционным звеном второго порядка (колебательным звеном) называют элементы, процессы в которых описываются дифференциальным уравнением второго порядка

(1)

 

или в операторной форме

(T ₂² s ² + T ₁ s + 1)z _вых (t) = Kх(t)

Отсюда передаточная функция инерционного звена второго порядка

(2)

 

где К – статический передаточный коэффициент; Т ₁, Т ₂ – постоянные времени звена.

Встречается в литературе и другая запись передаточной функции инерционного звена второго порядка (такая запись используется в программном комплексе МВТУ):

, (3)
где К – статический передаточный коэффициент; Т – постоянная времени звена, x - коэффициент затухания колебаний (в программе обозначен как b).

Нетрудно установить связь между параметрами К, Т, Т ₁, Т ₂ и x этих передаточных функций. Для этого достаточно приравнять множители при одинаковых степенях s в числителе и знаменателе и получить:
1) статические передаточные коэффициенты передаточных функций (2) и (3) строго равны друг другу;

2) постоянная времени Т в передаточной функции (3) равна постоянной времени Т ₂ в записи (2);
3) постоянная времени Т ₁ в передаточной функции (2) связана с постоянной времени Т в передаточной функции (3) соотношением
.

В общем случае передаточная функция на основании общего вида уравнения движения САР может быть представлена в виде отношения многочленов от s:

(4)

 

 

Связь между параметрами передаточной функции вида (2) и коэффициентами многочленов числителя и знаменателя в выражении (4) можно получить, приравнивая правые части выражений для передаточной функции. Тогда для инерционного звена второго порядка будем иметь:

Ниже при описании свойств колебательного звена используется передаточная характеристика вида (2).

Переходную характеристику инерционного звена второго порядка можно определить на основании общего решения дифференциального уравнения второго порядка (1):

(5)

Корни характеристического уравнения l₁ и l₂, представляющего собой знаменатель передаточной функции (2)

T ₂² s ² + T ₁ s + 1 = 0
определяются соотношением для обычного квадратного уравнения:

(6)

 

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий:
при t = 0 h(t) = 0; dh/dt = 0. С учетом начальных условий можно получить для постоянных интегрирования два уравнения:

С ₁ + С ₂ = 0, (7)

l ₁ С ₁ + l ₂ С ₂ = 0.

Из системы уравнений (7) находятся обе постоянные интегрирования.

Следовательно, переходная функция инерционного звена второго порядка будет выражаться уравнением

(8)

 

 

В зависимости от соотношения постоянных Т ₁, Т ₂ корни характеристического уравнения l₁, l ₂ могут принимать различные значения. Поэтому характер переходного процесса также будет зависеть от соотношения постоянных времени Т ₁, Т ₂.

Характер переходного процесса можно оценить коэффициентом затухания колебаний (иногда называется коэффициентом демпфирования):

 

На основании сравнения передаточных функций колебательного звена вида (2) и вида (3) нетрудно получить, что величина x, используемая в записи передаточной функции (3) строго равна d ₀, т.е. d ₀ = x.

С использованием d ₀ корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде

Если d ₀ > 1, т.е. (Т ₁ > 2T ₂ ), то корни характеристического уравнения вещественные отрицательные:

Характер переходного процесса будет апериодический.

Если d ₀ < 1, т.е. (Т ₁ < 2Т ₂ ) корни характеристического уравнения будут комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью.

Переходная функция инерционного звена второго порядка для рассматриваемого вида корней будет представлена уравнением

(7)

 

Где

Переходная функция (характеристика) имеет колебательный характер (затухающая синусоида с частотой b). Следует отметить, что затухание колебаний происходит интенсивнее при увеличении коэффициента затухания d ₀и увеличении постоянной времени Т ₁.

При d ₀ = 0 (T ₁ = 0, T ₂ >0) инерционное звено второго порядка преобразуется в гармоническое звено. При этом корни характеристического уравнения становятся чисто мнимыми и сопряженными.

Переходная функция гармонического звена принимает вид

h(t) = K(1 - cosw ₀ t) (8)

АФЧХ инерционного звена второго порядка имеет вид

(9)

 

 

Вещественная и мнимая части АФЧХ инерционного звена второго порядка

Можно показать, что АФЧХ в координатах U(w), V(w) при изменении w от нуля до бесконечности для различных значений коэффициента затухания d₀ имеют вид, представленный на рис. 1.

 

 

 

Примерами инерционных звенев второго порядка могут служить цепь постоянного тока с сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С; электродвигатель постоянного тока; акселерометр маятникового типа с торсионом; электромашинный усилитель ЭМУ и др. элементы.

Рассмотрим цепь постоянного тока с R, L, C (рис.2).

 

Если такую цепь подключить к постоянному напряжению U _вх = const, то уравнение движения (в данном примере – переходный процесс в последовательном контуре) можно записать следующим образом

 

(10)

 

 

Учитывая, что для емкости

Уравнение (10) можно записать следующим образом

(11)

 

 

Полагая, что входной величиной является U _вх, а выходной величиной – напряжение на конденсаторе U _c, уравнение (11) в операторной форме будет выглядеть так

(LCs ² + RCs + 1)U _c = U _вх.

Передаточная функция рассматриваемой цепи

Или

Где К – статический передаточный коэффициент;

T ₁ = RC – первая постоянная времени, с;

– вторая постоянная времени, с.

 

Можно отметить, что первая постоянная времени связана с затратами энергии в звене (в сопротивлении R), а вторая постоянная времени T ₂ характеризует способность звена накапливать и рекупировать (отдавать) энергию в звене.

Если положить R = 0 (или пренебречь им), то получится гармоническое звено (Т ₁ = 0), в котором возникают незатухающие колебания.

Порядок выполнения работы