Любая транспозиция перестановки меняет ее четность

Пример 4. Рассмотрим перестановку , полученную транспозицией чисел 3, 1 из четной перестановки . Перестановка должна быть нечетной. Так оно и есть, поскольку перестановка содержит: - три инверсии и - две инверсии. Всего – 5 инверсий.

Четность (нечетность) перестановки можно также определить по количеству транспозиций, переводящих эту перестановку в перестановку .

Перестановка будет четной (нечетной), если для этого требуется провести четное (нечетное) число транспозиций.

Пример 5. Перестановку можно перевести в перестановку с нормальным порядком расположения чисел следующими тремя транспозициями:

; ; . Следовательно, перестановка - нечетная, что согласуется с выводами примера 4, приведенного выше.

 

 

2.2. Определитель -го порядка.

Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

 

С каждой квадратной матрицей связано число, называемое определителем (детерминантом) матрицы . Это число обозначается или . Если - квадратная матрица -го порядка, то по определению ее определитель (детерминант) равен

, (1)

где сумма берется по всем перестановкам чисел 1,2, …, ,

- четность перестановки : , если перестановка четная и , если перестановка нечетная. Т.к. имеется различныхперестановок, то в сумме (1) присутствуют слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение элементов матрицы (взятых по одному из каждой строки и столбца матрицы), умноженное еще на число .

Выясним, к каким результатам приводит формула (1) для определителей 1,2,3-го порядка.

1) Пусть - квадратная матрица 1-го порядка, тогда согласно (1)

.

В этом случае - четная перестановка (в ней 0 инверсий).

2) Пусть - квадратная матрица 2-го порядка. Количество всех перестановок из двух чисел 1;2 равно 2! =2. Укажем эти перестановки и их четность:

- четная (0 инверсий), для этой перестановки ;

- нечетная (1 инверсия), для этой перестановки .

Следовательно, согласно формуле (1) определитель 2-го порядка равен

.

Окончательная формула имеет вид

. (2)

3) Пусть - квадратная матрица 3-го порядка. Количество всех перестановок из трех чисел 1,2,3 равно 3! =6. Укажем все эти перестановки и их четность:

- четная (0 инверсий), для этой перестановки ;

- четная (2 инверсии: 2>1, 3>1), для этой перестановки ;

- четная (2 инверсии: 3>1, 3>2), для этой перестановки ;

- нечетная (1 инверсия: 2>1), для этой перестановки ;

- нечетная (1 инверсия: 3>2), для этой перестановки ;

- нечетная (3 инверсии: 3>2,3>1,2>1), для этой перестановки .

Таким образом, в силу (1) определитель 3-го порядка равен

 

.

 

Окончательная формула для вычисления определителя 3-го порядка имеет такой вид

 

(3)

 

Формулы (2), (3) вычисления определителей 2-го и 3-го порядков называются правилами Саррюса. Их легко запомнить и использовать при вычислении определителей 2-го и 3-го порядков.

Пример 6. Вычислить определители

, , ,

, , .

Решение. Воспользуемся правилом (2) для определителей 2-го порядка и правилом (3) для определителей 3-го порядка.

,

,

,

,

 

.

 

2.3. Основные свойства определителей.

 

Определители обладают важными свойствами, которые позволяют проводить простые математические операции с его строками и столбцами. Они позволяют упростить заданный определитель до такого состояния, когда его вычисление становится элементарным. Сформулируем эти свойства, которые верны для определителей любого порядка.