Методические указания к решению задач

Аналитическая геометрия

Пример 1.

В треугольнике с вершинами , , проведена высота . Написать уравнение этой высоты.

Решение.

Напишем уравнение стороны ,

или . Откуда определяем нормальный вектор прямой , который является направляющим вектором для высоты .

Составим уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору :

, или .

Ответ: .

 

Пример 2.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и параллельно прямой .

Решение.

Найдем точку пересечения прямых и , решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

.

Искомая прямая параллельна прямой . Следовательно, направляющим вектором искомой прямой может быть выбран вектор . Таким образом, прямая, проходящая через точку параллельно направляющему вектору , может быть записана в виде .

Ответ: .

 

Пример 3.

Написать уравнение прямой , параллельной двум заданным прямым: , , и проходящей посередине между ними.

Решение.

Так как вектор , нормальный к заданным прямым и , является в то же время нормальным вектором и к прямой , то достаточно найти какую-нибудь точку , лежащую посередине между и . Из уравнений:

,

.

Тогда точка , делящая отрезок пополам, лежит посередине между и . Находим координаты точки :

.

Поэтому уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору имеет вид: .

Ответ: .

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение. Искомую плоскость обозначим через . Тогда их нормальные векторы параллельны. Поэтому нормальный вектор плоскости можно принять за нормальный вектор искомой плоскости . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору примет вид:

или .

Ответ: .

 

Пример 5. Написать уравнение плоскости , проходящей через точки и параллельно вектору .

Решение. Так как вектор не коллинеарен вектору , то задача имеет единственное решение. Выберем произвольную точку и найдем вектор . Таким образом, , или

 

.

Ответ:

 

Пример 5. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. За направляющий вектор искомой прямой можно принять направляющий вектор . Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору , получим

.

Ответ: .

Пример 6. Заданы скрещивающиеся прямые и . Найти расстояние между этими прямыми.

Решение.

Найдем уравнение плоскости проходящей через прямую параллельно прямой .

В качестве нормального вектора к этой плоскости Р, возьмем вектор где - направляющие векторы прямых и . Следовательно,

.

Уравнение плоскости Р:

 

 

Расстояние равно расстоянию от любой точки прямой , например, точки , до плоскости Р. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:

.

Откуда

Ответ:

 

Пример 7. Найти точку, симметричную с началом координат относительно плоскости

Решение.

1. Напишем уравнение прямой перпендикулярной плоскости Р, используя каноническое уравнение прямой:

где - направляющий вектор прямой. В качестве - нормальный вектор плоскости Р. Следовательно:

2. Найдем точку пересечения с плоскостью Р:

 

3. Отрезок делится в точке пополам. Следовательно, если

то

Ответ:

 

Пример 8. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что фокус параболы находится в точке

Решение.

Если , то фокус параболы находится на оси , причем левее начала координат. Уравнение параболы имеет вид

.

Таким образом, .

Ответ: .

Пример 9. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что он проходит через точки и .

Решение. Возьмем каноническое уравнение эллипса и вместо текущих координат подставим координаты точек и . Получим систему уравнений:

.

Определим параметры эллипса и , решая систему уравнений. Обозначив , сведем данную систему к следующей системе:

.

Следовательно, искомое уравнение эллипса будет .

Ответ: .

Пример 10. Написать уравнение гиперболы с асимптотами , проходящими через точку . Найти расстояние между ее вершинами.

Решение. Так как точка лежит на гиперболе, то ее координаты должны удовлетворять каноническому уравнению:

, т.е. уравнению .

Кроме того, из уравнений асимптот гиперболы имеем .

Решая полученную систему двух уравнений:

,

т.е. уравнение гиперболы имеет вид .

Расстояние между вершинами определяем из условия: .

Ответ: ; .

 

Пример 11. Дана гипербола . Найти эллипс, фокусы которого совпадают с фокусами данной гиперболы, проходящей через точку .

Решение. Обозначим параметры данной гиперболы через , , и найдем их, приведя уравнение гиперболы к каноническому виду: .

Так как по условию фокусы искомого эллипса и данной гиперболы совпадают, то для эллипса .

Рассмотрим каноническое уравнение эллипса и подставим в него координаты точки :

.

Ответ: .

 

Пример 12. Установить, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу, найти его полуоси и вершины.

Решение. Сечение эллипсоида плоскостью определяется системой:

т.е. является эллипсом.

Полуоси полученного эллипса равны:

.

Вершинами эллипса являются точки

; ; ; .

Ответ: ;

; ; ;