Площадь треугольника по трем точкам

Аналитическая геометрия, математические формулы

Системы координат на плоскости и в пространстве

Системы координат на плоскости

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1)

О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)

 

О - начало координат, - оси координат, , - координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно оси , аналогично ), - базисные векторы.

Полярные координаты (рис. 4.3)

О - полюс, Ox - полярная ось, - полярный радиус, - полярный угол.

Главные значения и : (иногда ).

Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные

Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные

Системы координат в пространстве

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.4)

О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат, - базисные векторы. Oxy, Oxz, Oyz - координатные плоскости, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно плоскости Оyz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.5)

 

О - начало координат, - оси координат, , , - координатные плоскости, - координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно плоскости ; аналогично , ), - базисные векторы.

Цилиндрические координаты (рис. 4.6)

Главные значения , , :

Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:

Сферические координаты (рис. 4.7)

Главные значения , , :

Иногда вместо рассматривают :

Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами

или

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)

Поворот координатных осей (рис. 4.9)

Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)

Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками

где и радиус-векторы точек и .

В координатах:

на прямой

на плоскости

в пространстве

Деление отрезка в данном отношении

В координатах:

на прямой ;

на плоскости , ;

в пространстве , ,

Середина отрезка ( = 1)

В координатах:

на прямой ;

на плоскости , ;

в пространстве , , .

Координаты центра масс системы материальных точек

Если в точках (с радиусами-векторами ) сосредоточены массы то радиус-вектор центра масс

В координатах:

 

Площадь треугольника по трем точкам

Если , , - радиус-векторы вершин треугольника, то

В координатах:

в общем случае

для треугольника, лежащего в плоскости Oxy (mod a = | a |),

Объем параллелепипеда

Если параллелепипед построен на приведенных к общему началу векторах , а , , , - радиус-векторы его соответствующих вершин то объем параллелепипеда

В координатах

 

 

Объем тетраэдра

Если - исходящие из одной вершины ребра тетраэдра, а , , , - радиус-векторы соответствующих вершин тетраэдра, то его объем

Прямая на плоскости

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.

Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор (см. рис. 4.11).

В координатах (параметрические уравнения):

Каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12)

или

или

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)

или

где b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Отклонение точки от прямой

или

где знак перед корнем противоположен знаку C, если и выбран произвольно, если C = 0.

Расстояние от точки до прямой

Взаимное расположение двух прямых

Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

Угол между двумя прямыми

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

или или

Расстояние между параллельными прямыми

Если прямые заданы уравнениями и то

а если уравнениями и то

Пучок прямых

Если - центр пучка, то уравнение пучка

Если центр задан пересечением двух прямых

то уравнение пучка

Прямая в пространстве

Способы задания прямой

Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.

В координатах (параметрические уравнения):

Канонические уравнения прямой

Уравнения прямой по двум точкам

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

при условии, что не имеют места равенства

Направляющий вектор такой прямой

где