Устойчивость линейных систем автоматического управления с постоянными параметрами

Одной из важнейших условий работоспособности САУ является устойчивость. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции управления. Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости САУ является одной из центральных в теории автоматического управления.

Раскроем физический смысл понятия “устойчивость”. Устойчивость системы автоматического управления и регулирования - это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

Неустойчивость САУ возникает, как правило, из-за неправильного или очень сильного действия главной обратной связи. Неправильное действие главной обратной связи имеет место обычно в тех случаях, когда из-за ошибки, допущенной при монтаже системы связь оказывается положительной (вместо отрицательной), что практически делает систему неустойчивой. Возникающую при этом неустойчивость называют статической.

Более сложным и более распространенным видом неустойчивости является динамическая неустойчивость. Она проявляется в системах с отрицательной обратной связью при достаточно большом коэффициенте усиления (при порядке системы не меньшем третьего). Причиной динамической неустойчивости обычно является значительная инерционность элементов замкнутого контура, из-за которой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи значительно отстает от входного сигнала и оказывается с ним в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная (в статическом режиме!) в динамике (в режиме гармонических колебаний) проявляется на определенной частоте как положительная.

Введение в теорию устойчивости линейных стационарных САУ

Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустойчивости линейных стационарных САУ. Согласно данному выше физическому определению устойчивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением

, (4.1)

где x(t) = xсв(t) - свободная составляющая выходной величины системы.

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (2.1), на устойчивость системы не влияет.

Математическое определение понятия “устойчивость”

Система является устойчивой, если свободная составляющая xсв(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если

(4.2)

Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой правой частью уравнения (2.1). Устойчивость в смысле условия (4.2) принято называть асимптотической.

Если свободная составляющая неограниченно взрастает, т.е. если

, (4.3)

то система неустойчива.

Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (4.1), устойчива. Решение уравнения (4.1)

xсв(t) = , (4.4)

где Ck - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий;

pk - корни характеристического уравнения

. (4.5)

Корни характеристического уравнения могут быть действительными (pk=ak), мнимыми (pk=jbk) и комплексными

pk=ak ± jbk, (4.6)

причем как комплексные, так и мнимые корни попарно сопряжены.

Свободная составляющая (4.4) удовлетворяет условию устойчивости, если каждое слагаемое вида . Характер этой функции времени зависит от вида корня pk.

Рассмотрим все возможные случаи расположения корней характеристическо­го уравнения на комплексной плоскости (рис. 4.1) и соответствующие им функции xсв(t), которые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа)

Рис. 4.1. Влияние корней характеристического уравнения на составляющие ее

Свободного движения

1) Каждому действительному корню pk=ak в решении (4.4) соответствует слагаемое вида

xсвk(t) = . (4.7)

Если ak<0 (корень p1), то функция (4.7) плавно стремится к нулю. Если ak>0 (корень p3), то функция (4.7) неограниченно возрастает. Если ak=0 (корень p2), то эта функция остается постоянной.

2) Каждой паре сопряженных комплексных корней pk=ak+jbk и pk+1=ak‑jbk в решении (4.4) соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагаемое

xсвk(t) = 2 sin(bkt+yk). (4.8)

Функция (4.8) представляет собой синусоиду с частотой bk и амплитудой, изменяющейся по экспоненте. Если ak < 0 (корни p4 и p5 на рис. 4.1), то колебательная составляющая (рис. 4.1) будет затухать.

Если ak > 0 (корни p8 и p9),то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если ak = 0 (корни p6 и p7), т.е. оба сопряженных корня - мнимые (pk=jbk, pk+1=-jbk), то xсвk(t)=2 sin(bkt+yk) - незатухающая синусоида bk.

Если среди корней характеристического уравнения (4.5) имеются l равных между собой корней pl, то в решении (4.4) вместо l слагаемых вида появится одна составляющая

. (4.9)

Учитывая, что функция вида при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида , можно доказать, что и в случае кратности корней решение (4.4) будет стремиться к нулю лишь при отрицательности действительной части кратных корней pl.

На основании проведенного анализа можно сформулировать общее условие устойчивости:

для устойчивости линейной стационарной САУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными.

При этом действительные корни рассматриваются как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой.

Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.

Используя геометрическое представление корней (4. 6) на комплексной плоскости (см. рис. 4.1) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной):

для устойчивости линейной стационарной САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой.

Мнимая ось jb (рис. 4.1) является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару мнимых корней (pk=jbk, pk+1=-jbk), то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой w = çbkç. В этом случае система находится на колебательной границе устойчивости.

Точка b = 0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива (два последовательно соединенных интегрирующих звена создают сдвиг по фазе -180° при всех значениях частот).

Таким образом, для суждения об устойчивости линейной стационарной САУ достаточно определить знаки действительных частей корней характеристического уравнения. Но для этого необходимо вычислять корни характеристического уравнения.

В ТАУ разработан ряд методов, с помощью которых можно судить о том, имеются ли корни с положительной действительной частью, не находя числовые значения самих корней. Эти методы называются критериями устойчивости.

Простейшим критерием устойчивости является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения. Положительность коэффициентов уравнения (4.4) является необходимым (но не достаточным!) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система может быть устойчивой и неустойчивой (при порядке системы n>2). Но если хотя бы один коэффициент уравнения отрицателен или равен нулю, то система неустойчива.

Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частотными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения.

Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой ее частотных характеристик.