Разработчик Данилова С. Ю

Методические указания к контрольной работе

по предмету «Вычислительная техника»

Для студентов 4 курса заочного отделения специальности 140613

разработчик Данилова С. Ю.

Задание 1.

Система счисления – совокупность приёмов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения.

Двоичная система счисления в ЭВМ является основной системой счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования данных. В двоичной системе счисления основание d=2 и используются знаки 0 и 1.

 

Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2.

Последнее частное – старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d2, а следующие за ней цифры - это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению. Арифметические действия выполнять в той системе счисления, в которой записано переводимое число.

 

Пример 1. Перевести число 11₁₀ в двоичную систему счисления.

Имеем d1=10, d2=2

Начинаем записывать число с конца: 11₁₀=1011₂

 

Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d1 в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание новой системы счисления d2. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

Если при переводе получается дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда, процесс можно закончить при достижении необходимой точности.

 

Пример 2. Перевести число 0,625₁₀ в двоичную систему счисления.

 

При переводе смешанных чисел, необходимо в новую систему перевести отдельно целую и дробную части по правилам перевода целых чисел и правильных дробей, а затем оба результата объединить в одно смешанное число в новой системе счисления.

Для перевода числа из системы с основанием d в десятичную необходимо использовать следующую формулу разложения:

а_n a_n-1…а₁а₀ , a _-1…a _-n=а_ndⁿ+ а_n-1d^n-1+…+ а₁d¹+a₀d⁰+ а_-1d^-1+…+ а_-nd^-n

 

Пример 3. Перевести число 101,11₂ в десятичную систему счисления.

Целая часть числа содержит 3 цифры, значит n=3-1=2

101,11₂=1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 =1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1/2¹ +1*/2² = 8 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 9,75₁₀

 

Двоичные числа складываются по правилам, приведенным в таблице:

+

 

Пример 4: Сложить два числа 11110010 и 10101010

 

+ 11110010

10101010

 

Вычитания двоичных чисел заменим сложением. Сначала преобразуем вычитаемое в дополнительный код. Для получения дополнительного кода, сначала инвертируем число, а потом к нему прибавим двоичную единицу. Инвертировать число, значит, записать его в обратном коде, т. е. там, где были единицы записать 0, а где были нули - записать единицы. Операцию инвертирования обозначим добавлением к числу частицы NOT. NOT10101010 = 01010101. К обратному коду прибавим 1 и получим: 1010110 (первый ноль можно опустить). 10101100 - это дополнительный код числа 10101010.

 

Пример 5: 11110010-10101010

 

Получим обратный код not10101010=10101010

Дополнительный код: 10101010+1=10101011

Сложим

+ 11110010

1010110

старший разряд отбрасываем, так как разрядность результата должна быть равна 8 двоичным разрядам, как уменьшаемое и ведущий ноль не пишем

 

Если разрядность вычитаемого меньше, чем разрядность уменьшаемого, то к вычитаемому надо сначала слева дописать недостающие нули, чтобы разрядности чисел были одинаковыми, а потом получать его обратный код.

 

Задание 2, 3.

Высказывание - это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).

 

Логическое выражение - устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).

 

Сложное логическое выражение - логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.

 

Логические операции - мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

 

Таблица истинности - таблица, в которой перечислены состояния на выходе при любой комбинации входных сигналов.

 

Карта Карно - специальная компактная форма таблицы истинности, которая позволяет не только представить функцию, но и минимизировать ее. Количество клеток в карте Карно равно количеству строк в таблице истинности. Каждая клетка соответствует одной строке таблицы. Комбинации входных переменных распределяются по двум сторонам прямоугольника, а соответствующие значения функции в клетках таблицы, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих выбранным состояниям переменных.

Булева алгебра базируется на основе трех логических функций:

 

Операция И (логическое умножение, конъюнкция). Это логическая операция над двумя и более переменными, результат которой равен единице только тогда, когда все значения переменных равны единице. Применяются обозначения (&, *,˄). Элемент, реализующий операцию, называется конъюнктором.

 

Таблица истинности конъюнкции

a	b	f=a*b

 

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция). Это логическая операция над двумя и более переменными, результат которой равен единице, если значение хотя бы одной из переменных равно единице. Применяются обозначения (+, ˅). Элемент, реализующий операцию, называется дизъюнктором.

 

Таблица истинности дизъюнкции

a	b	f=a+b

 

Операция НЕ (логическое отрицание, инверсия). Отрицанием высказывания А называется операция, результат которой равен 1 когда переменная равна 0 и равен 0 когда переменная равна 1. Применяются обозначения (ˉ,, ˥). Элемент, реализующий операцию, называется инвертором.

 

 

Таблица истинности инверсии

a	f=a

 

Карты Карно

Карта Карно для функции трех переменных состоит из 8 клеток и имеет обычно 2 строки и четыре столбца. На верхней стороне прямоугольника каждому столбцу ставится в соответствие одна комбинация входных переменных х 1 и х 2. Причем, при переходе от каждого столбца к соседнему имеет право измениться только одна переменная, а первый и последний столбцы карты также считаются соседними. В карте трех переменных каждая клетка имеет три соседние.

Или

 

х1х2
х3

 

Пример 6: Построить карту Карно для функции

Для начала построим таблицу истинности. Для этого будем подставлять всевозможные комбинации входных значений в функцию и вычислять значение F по правилам булевой алгебры

Всего в таблице будет 2ⁿ строк, где n – число переменных

1 строка:

Находим значение для F во всех остальных строках и формируем таблицу

 

x	y	z	F

Теперь заполняем карту Карно:

 

x y
z