Параллельность прямой плоскости. Параллельность плоскостей

Прямая параллельна плоскости, если плоскость есть прямая параллельная заданной прямой (или есть она параллельна прямой лежащей в этой плоскости).

Свойства параллельных плоскостей.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым лежащей в другой плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащей в этой плоскости. Отсюда следует что прямая перпендикулярна плоскости будет перпендикулярна любой прямой которая лежит в этой плоскости, а значит она будет перпендикулярна любой горизонтали и любой фронтали данной плоскости. Это перпендикулярность по теореме прямого угла сохраняется для горизонтали в горизонтальной поверхности для фронтали во фронтальной поверхности. Поэтому мы можем утверждать что прямая перпендикулярна плоскости, если для её проекции соблюдаются следующие условия.

Порядок построения перпендикуляра в плоскости:

1. В рассматриваемой плоскости проводим горизонталь и фронталь.

2. В горизонтальную проекцию перпендикуляра проводим перпендикулярную горизонтальной проекции горизонталя.

3. Фронтальную проекцию перпендикуляра, проводим перпендикулярно фронтальной проекции фронталя.

 

Перпендикулярность двух плоскостей.

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то каждая из них проходит через перпендикуляр другой плоскости.

Обратное утверждение:

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр другой.

Отсюда следует два способа построения взаимных перпендикулярных плоскостей. Таким образом задача на построение взаимно перпендикулярных плоскостей, сводится к построению прямой перпендикулярной плоскости.

 

Перпендикулярность двух прямых общего положения.

Построение таких прямых сводится к построению прямой перпендикулярно плоскости содержащей вторую прямую.

Рассмотрим пример:

Через точку А провести прямую перпендикулярную прямой L.

Чтобы искомая прямая была перпендикулярна заданной, её нужно расположить в плоскости перпендикулярна заданной прямой L. Вспомогательную плоскость задаём фронтальную и горизонтальную перпендикулярную заданным прямой L. Полученная плоскость перпендикулярна прямой L, поэтому любая прямая лежащая в этой плоскости будет перпендикулярно заданной прямой L. Находим точку пересечения прямой L и вспомогательной плоскости и соединяем с точкой А, полученная прямая задана прямой L.

 

Кривые линии. Классификация кривых.

Кривую в начертательной геометрии принято рассматривать кинематически, т.е. как траекторию некоторой точки непрерывно движущейся в пространстве. Кривые линии бывают закономерные или алгебраические, т.е. такие которые в своём образовании подчиняются некоторому закону.

Незакономерные (не алгебраические).

Кривые бывают плоские все точки которых принадлежат одной плоскости и пространственные.

Степень уравнения закономерной прямой соответствует порядок прямой, например уравнения эллипса.

Эллипс кривая второго порядка.

 

Поверхность. Классификация поверхностей. Задание на эпюре. (Очерк, определить поверхности).

Поверхности

Поверхность в общем виде можно представить как совокупность последовательных положений некоторой линии перемещаются в пространстве по определённому закону.

 

L₁, L₂, … — семейство

образующих

(подвижные линии)

М₁, М₂, … — семейство

направляющих

(неподвижные кривые)

 

Из всех способов задания поверхности выбирается наиболее простой. В общем случае чтобы задать поверхность на чертеже достаточно задать те элементы которые геометрически равносильны той поверхности, т.е. позволяет выполнять те действии которые можно производить имея действительную поверхность.

Комплекс этих элементов назван определителем поверхности.

Таким образом определитель поверхности необходимо и достаточно совокупность геометрических фигур и связи между ними однозначно определяющей поверхность.

В качестве … чаще всего выступают проекции направляющей и образующей.

Имея опр… на чертеже строят её очерк.

Классификация поверхности:

1. По виду образующей.

а) Линейчатой поверхности

б) Образованной движением прямой линии

в) Образованные кривой линией

2. По развёртыванию.

Развёртываемые поверхности т.е. такие поверхности которые можно совместить с плоскостью без образования разрывов и складок.

3. По виду движения образующей:

а) Поверхность вращения

б) Поверхность с плоскостью параллельна

в) Винтовые поверхности

 

? 21. Пересечение многогранников плоскостью частного положения.

Пересечение многогранника плоскостью

Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника.
Сечение представляет собой плоский многоугольник с внутренней областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на несколько многогранников, вырождаться в прямые и точки.
Сечение многогранника плоскостью можно построить двумя способами:
1. По точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника.
2. По линиям пересечения граней многогранника с плоскостью.
В первом случае задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью. Во втором случае - к определению линий пересечения плоскостей.
В ряде случаев целесообразно комбинированное применение обоих способов.

Пересечение плоскостей общего и частного положения

Пусть нам дана плоскость частного положения a П₁ и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС. Требуется построить линию пересечения плоскости a с плоскостью АВС.

Рассмотрим сначала пространственную модель, на которой даны плоскость a, плоскость АВС и плоскость проекций П₁. Спроецируем плоскости a и ABC на П₁. Плоскость общего положения АВС проецируется на плоскость П₁ в виде треугольника А₁В₁С₁, а плоскость частного положения a - в виде прямой a₁. На плоскости П₁ прямая a₁ и АВС пересекаются в точках K₁ (K₁ принадлежит А₁В₁) и N₁ (N₁ принадлежит А₁C₁). Если через точки K₁ и N₁ провести проецирующие прямые до пересечения с плоскостью АВС, то получатся две точки K (K принадлежит АВ) и N (N принадлежит АC). Соединив точки K и N, мы получим прямую KN. Прямая KN - линия пересечения плоскости a с плоскостью АВС.

Теперь обратимся к комплексному чертежу. K₁ принадлежит a₁, следовательно K принадлежит a. K₁ принадлежит A₁B₁, а K₂ принадлежит A₂B₂, следовательно K принадлежит AB. Из этих утверждений следует, что K - точка пересечения прямой АВ с плоскостью a. Возьмем точку N и проделаем те же действия. Теперь рассмотрим ABС (заданный пересекающимися прямыми АВ, АС). КN - линия пересечения плоскости ABС с плоскостью a.

 

? 22. Пересечение поверхностей вращения плоскостью частного положения.

В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пересечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечения цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы. Изображение пересечения цилиндров с параллельными образующими

приведено на рис. 8.6.

Соосные поверхности вращения (рис. 8.7). Комбинация из пересекающихся трех соосных конусов образует центровое гнездо для обработки деталей в центрах. Для предохранения от повреждений рабочей конической поверхности 1 при соприкосновении (ударах) с другими деталями служит наружный конус 2.

Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы (рис. 8.8). В этом случае линиями пересечения поверхностей 2-го порядка являются две плоские кривые 2-го порядка, изображаемые на плоскости, параллельной осям поверхностей, в виде прямолинейных отрезков. В случае, показанном на рис 8.8, поверхности цилиндра и конуса пересекаются по двум эллипсам с проекциями 1₂2₂ и 3₂4₂.

Рассмотренный пример пересечения двух поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы, является частным случаем, следующим из теоремы Монжа: две поверхности 2-го порядка, описанные около третьей поверхности 2-го порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

 

? 23. Построение точек пересечения многогранников с прямой.

Прямая пересекает многогранную поверхность в нескольких точках, различных или совпадающих.
Если многогранник выпуклый, то существует 2 точки пересечения прямой с многогранной поверхностью, их называют точками встречи.
Построение точек встречи сводится к решению первой основной позиционной задачи. Рисунок наглядно иллюстрирует решение этой задачи.

Алгоритм построения точек пересечения прямой с многогранной поверхностью:

1.Заключаем прямую a во вспомогательную плоскость s.

2.Плоскость s пересекает многогранник по ломаной KLP.

3.Ломаная KLP пересекается с прямой a в точках N и M. Точки N и M – искомые точки пересечения прямой a с многогранником.

Выбор вспомогательной плоскости s необходимо обосновать в каждом конкретном случае, исходя из точности и простоты построений.

?25. Взаимное пересечение поверхностей. Пересечение поверхностей многогранников.

Линией пересечения двух поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. Из этого множества выделяют характерные (опорные, или главные) точки, с которых следует начинать построение этой линии. Они позволяют увидеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для определения остальных точек.

К таким точкам относятся: экстремальные точки- верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих некоторых поверхностей точки границы зоны видимости и т.д.

Следует имеет в виду, что линия пересечения двух поверхностей в проекциях всегда располагается в пределах контура наложения проекций двух пересекающихся поверхностей.

Иногда целесообразно воспользоваться преобразованием чертежа, чтобы представить пересекающиеся поверхности (или одну из них) в частном положении.

Для определения этих точек часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

В общем случае решение задачи по построении линии пересечения двух поверхностей может быть сведено к рассмотренным ранее задачам по определению:

1. Точек пересечения линии с поверхностью;

2. Линии пересечения плоскости и поверхности;

3. Комбинации первой и второй задачи.

Пересечение поверхностей многогранников.

При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.

1.Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности приводят ломанную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

2.Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломанной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью.

? 26. Пересечение многогранника и поверхности вращения. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Простейшая позиционная задача с использованием этого метода - оценка взаимного расположения прямой и плоскости. Сущность метода заключается в следующем: через прямую проведем вспомогательную секущую плоскость g и установим относительное положение двух прямых а и в, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости g и данной плоскости a (см. рисунок).

Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости a, параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая а пересекает плоскость a.

Таким образом возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости:

 прямая принадлежит плоскости;

 прямая параллельна плоскости;

 прямая пересекает плоскость.

Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают перпендикулярными или параллельными плоскости проекций.

Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

1. Если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня;

2. Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической;

3. Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.