Средние величины и показатели вариации

Задача 4.1. Среднемесячная начисленная заработная плата работников отдельных областей Сибири (Кемеровской, Новосибирской, Томской) в 2000г. составила соответственно: 2425, 1813, 2526 руб. Определить средний уровень начисленной з/платы по всему региону.

Задача 4.2. Имеются следующие данные о показателях работы предприятий отрасли за отчетный период:

Показатель	№ предприятия

Объем продукции, тыс. шт. Стоимость реализованной продукции, тыс. руб. Прибыль, тыс. руб.	9,0	9,8	8,5	8,6	9,1

Определить средний уровень каждого показателя.

Задача 4.3. По фирмам региона имеются следующие данные:

Показатель	№ фирмы

Количество выпущенных акций, тыс. ед. Прибыль на одну акцию, руб.

Определить среднюю прибыль на одну акцию.

Задача 4.4. По данным выборочного наблюдения имеется следующее распределение фермерских хозяйств района по размерам угодий:

№ группы	Размеры угодий, га х	Число хозяйств f	Середина интервала х^¢
I II III IV V	До 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 свыше 70

Определить средний размер угодий, приходящихся на одно хозяйство района

Задача 4.5. По данным о стоимости коттеджей в Подмосковье, расположенных далее 30 км от МКАД, рассчитать среднюю цену 1 м²:

Цена 1 м, долл. США	Общая площадь, тыс. м
300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700 700 – 800	29,4 20,5 7,3 7,0 4,0

Задача 4.6. Имеются следующие данные о продаже картофеля на рынках города:

№ рынка	Средняя цена, руб.	Продано, тыс. кг	Удельный вес продажи, %
март	апрель	март	апрель
	5,0 4,5 4,0
Итого

Определить средние цены картофеля по трем рынкам города в марте и апреле, используя в качестве частот: а) абсолютные данные о продаже товара; б) удельные веса продажи товара.

Объяснить, почему при неизменных ценах и одинаковом общем объеме продажи средняя цена изменилась.

Задача 4.7. По данным об успеваемости студентов вуза определить долю отличников в общей численности студентов:

№ факультета	Доля отличников среди студентов факультета	Доля студентов фак-та в общей числ-ти студ.вуза
	0,12 0,06 0,17 0,09	0,20 0,43 0,08 0,29

Задача 4.8. По трем районам города имеются следующие данные (на к.г.):

Район	Число отделений Сбербанка	Сред.число вкла-дов в отделении	Средний размер вклада, руб.

Определить средний размер вклада в Сбербанке в целом по городу.

Задача 4.9. Имеются данные о финансовых показателях фирм за два периода:

№ фирмы	Базисный период	Отчетный период
Прибыль на одну акцию, руб.	Количество акций, тыс.	Прибыль на одну акцию, руб.	Сумма прибы-ли, тыс.руб.
	8,0 4,0		9,0 8,0

Для каждого периода определить среднюю по двум фирмам прибыль на одну акцию.

Задача 4.10. В отделе заказов торговой фирмы занято трое работников, имеющих 8-часовой рабочий день. Первый работник на оформление одного заказа в среднем затрачивает 14 мин., второй – 15, третий – 19 мин. Определить средние затраты времени на 1 заказ в целом по отделу.

Задача 4.11. По результатам выборочного обследования получены данные о распределении семей в трех районах по числу детей:

Число детей	Число семей, %
I район	II район	III район
6 и более

Определить для каждого района среднее число детей в семье, моду и медиану.

Задача 4.12. Распределение пенсионеров города по размеру назначенных пенсий на начало года характеризуется следующими данными:

Размер пенсии, руб.	Удельный вес пенсионеров, %
До 1000 1000 – 1200 1200 – 1400 1400 – 1600 1600 – 1800 1800 – 2000 свыше 2000

Определить средний размер, модальный и медианный размеры пенсии.

Задача 4.13. Выполнение норм выработки рабочими двух бригад характеризуется данными (%):

I бригада: 110, 127, 92, 113, 101, 134;

II бригада: 107, 104, 100, 99, 105, 103.

Определить, в какой из бригад нормы выработки выполняются более равномерно (с помощью показателей вариации).

Задача 4.14. По результатам сессии получено распределение студентов двух факультетов вуза по числу баллов за три экзамена:

Сумма баллов за три экзамена	Число студентов ф-та I (в % к итогу)	Число студентов ф-та II (в % к итогу)

С помощью показателей вариации s и v охарактеризовать и сравнить однородность данных совокупностей.

Задача 4.15. По данным бюджетных обследований получены следующие характеристики потребления продуктов питания (кг в год):

Продукты	Среднее потребление	Среднее линейное отклонение
Мясо и мясопродукты Молоко и молочные продукты Картофель

Сравнить вариации потребления этих продуктов (в абсолютном и относительном выражении).

Задача 4.16. По данным о распределении сотрудников коммерческой фирмы по уровню заработной платы определить среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение от средней з/платы, найти соотношение между ними:

Размер з/платы, тыс.руб./мес.	Количество сотрудников, чел.
До 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 9 и более
Итого:

Задача 4.17. Имеются данные о чистой прибыли предприятий двух районов:

Район	Число предприятий	Чистая прибыль, млн. руб.
I II		4, 6, 9, 4, 7, 6 8, 12, 8, 9, 6, 5, 7, 7, 8, 10

Определить дисперсии чистой прибыли:

1) групповые (по каждому району);

2) среднюю из групповых;

3) межгрупповую;

4) общую.

Сделать вывод о влиянии места расположения предприятия (района) на размер прибыли.

Задача 4.18. Имеются следующие данные об однородных предприятиях:

№ предприятия	Стоимость основных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
		6,0 4,0 4,4 2,4 3,6 7,0 4,6 6,5 7,0 4,5

По признаку размера основных фондов выделить три группы предприятий, определить межгрупповую, внутригрупповую и общую дисперсии выпуска продукции, сделать вывод о влиянии группировочного признака на объем выпуска продукции.

Задача 4.19. Имеются следующие выборочные данные о вкладах населения района:

Группы населения	Число вкладов, тыс. ед.	Средний размер вклада, тыс. руб.	Коэффициент вариации, %
Городское Сельское

Определить тесноту связи между средним размером вклада и типом населения с помощью эмпирического корреляционного отношения.

Задача 4.20. По данным обследования коммерческих банков города: 80% общего числа клиентов составили юридические лица со средним размером кредита 120 тыс. руб. и коэффициентом вариации 25%, а 20% - физические лица со средним размером ссуды 20 тыс. руб. при среднем квадратическом отклонении 6 тыс. руб. Используя правило разложения дисперсии, определить тесноту связи между размером кредита и типом клиента (с помощью эмпирического корреляционного отношения).

Выборочное наблюдение

Формулы для средней ошибки выборки:

- в случае повторного отбора:

- в случае бесповторного отбора:

Соответствие значений t и доверительных вероятностей Р:

t	1,0	1,5	1,64	2,0	2,5	3,0	3,5
Р	0,683	0,866	0,95	0,954	0,988	0,997	0,999

Задача 5.1. На машиностроительных заводах области работает 25000 рабочих. В порядке случайной бесповторной выборки обследовано 4900 рабочих. На основе этого обследования установлено: а) среднемесячная з/плата – 2900 руб.; б) среднее квадратическое отклонение – 365 руб. Определить среднюю ошибку выборки и возможные пределы средней заработной платы с вероятностью 0,954.

Задача 5.2. Как изменится средняя ошибка выборки при обследовании рабочих с целью определения средней з/платы, если при неизменных объеме выборки и дисперсии з/платы доля обследованных рабочих уменьшится с 36% до 19%?

Задача 5.3. При 20%-м выборочном обследовании (по способу случайной бесповторной выборки) населения города с численностью 380000 чел установлено: удельный вес населения в возрасте до 16 лет составил 14%. Определить с вероятностью 0,95 пределы, в которых будет находиться доля этой группы населения.

Задача 5.4. Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 5%-я механическая выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования кредитом – 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. В пяти счетах (из 100) срок пользования кредитом превышал 60 дней. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться срок пользования краткосрочным кредитом в банке и доля счетов со сроком пользования более 60 дней.

Задача 5.5. С целью прогнозирования урожая пшеницы в хозяйстве была произведена 10%-я выборка, в которую попали три участка. Урожайность на этих участках составила: 20, 25 и 21 ц/га. С вероятностью 0,95 определить пределы, в которых будет находиться средняя урожайность пшеницы в этом хозяйстве.

Задача 5.6. Из 12000 сотрудников коммерческих банков области с целью определения доли сотрудников в возрасте старше 40 лет было обследовано 500 человек, из которых старше 40 лет оказалось 175 человек. С вероятностью 0,997 определить долю сотрудников данного возраста в общей численности работников банков.

Задача 5.7. В городе А с целью определения средней продолжительности поездки населения на работу предполагается провести выборочное обследование методом случайного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,95 (0,997) ошибка выборочной средней не превышала 5 мин. при среднем квадратическом отклонении 20 мин.?

Задача 5.8. В городе В с числом семей 10000 предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей с детьми школьного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если дисперсия равна 0,24?

Задача 5.9. Средняя списочная численность рабочих на заводе 5000 чел. По данным 1%-го выборочного обследования их свободного времени получено, что оно составляет в среднем 6,2 часа в день при средней ошибке выборки 1,2 часа. Какова должна быть численность обследованных рабочих, чтобы ошибка выборки уменьшилась в два раза?

6. Изучение взаимосвязей признаков

(Корреляционно-регрессионный анализ)

Задача 6.1. По данным задачи 4.18 определить тесноту и форму связи между признаками, построить уравнение регрессии, определяющее зависимость выпуска продукции (признак у) от стоимости основных фондов (признак х). Оценить полученное уравнение с помощью показателей: коэффициент детерминации, стандартная ошибка оценки, критерий Фишера (критическое значение F_a(1;8)=11,26 при a=0,01).

Задача 6.2. По 10 однородным магазинам имеются следующие данные:

Товарооборот, тыс. руб.
Товарные запасы, дни

Определить уравнение регрессии между товарооборотом (признак х) и товарными запасами (признак у). Связь гиперболическая.

Задача 6.3. Имеются данные по 10 работникам предприятия:

№ п/п	Разряд	Стаж работы, лет	З/плата, руб./мес.

Построить множественную линейную модель зависимости размера заработной платы от разряда и производственного стажа работника, оценить точность и значимость модели, степень влияния факторов на результативный признак (найти: коэффициенты эластичности, детерминации, корреляции, стандартную ошибку оценки, F-критерий, F_0,05(2,7)=4,74). Дать прогноз заработной платы работника с 6 разрядом и производственным стажем 20 лет.

Задача 6.4. По данным таблицы с помощью коэффициента взаимной сопряженности Пирсона определить, является ли работа на компьютере фактором ухудшения зрения:

Работа за компьютером	Динамика состояния зрения	Всего
Не ухудшилось	Ухудшилось
Не работает Работает недавно Работает давно
Итого

Задача 6.5. По данным опроса 100 человек, работающих на предприятиях различной формы собственности, получены их оценки уровня жизни. Оценить связь указанных в таблице альтернативных признаков с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции:

Форма собствен-ности предпр-я	Удовлетворенность уровнем жизни
Удовлетворен	Не удовлетворен	Всего
Государственная Частная
Всего

7. Ряды динамики

Задача 7.1. Указать, какие из следующих примеров данных описываются вариационными рядами (рядами распределения), а какие – рядами динамики (моментными или интервальными):

а) производство стали по годам за 1991 – 2001гг;

б) стоимость основных фондов по отраслям на 1 января 1995г.;

в) протяженность электрифицированных участков железных дорог на конец года за 1950 – 2000гг;

г) численность населения по уровням образования на 1 января 2000г.;

д) выпуск инженеров по годам за 1950 – 2001гг;

е) производство телевизоров по годам за 1990 – 2000гг;

ж) производство мяса по видам в 2001г.

Задача 7.2. По данным о поголовье крупного рогатого скота в районе (тыс. голов) до и после изменения границ района составить сомкнутый ряд динамики, т.е. привести данные к сопоставимому виду (с помощью коэффициента пересчета уровней):

№ п/п	Поголовье скота	Год

	В прежних границах В новых границах Сомкнутый ряд	45,0 –	48,0 –	50,0 70,0	– 71,3	– 73,2	– 74,1	– 75,0

Задача 7.3. Имеются данные о среднемесячной заработной плате на одного работника и стоимости набора из 25 основных продуктов питания в расчете на одного человека в РФ за полугодие:

Месяц	Зар/плата, руб.	Стоимость набора, руб.
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь	654,8 684,4 745,0 746,5 779,3 837,2	209,4 216,6 220,9 224,1 227,5 232,5

Привести ряды динамики к одному основанию (с помощью базисных темпов роста). Для сравнения темпов роста данных рядов исчислить коэффициенты опережения.

Задача 7.4. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятия за 1993-97гг (в сопоставимых ценах), млн. руб.:

1993г. 1994г. 1995г. 1996г. 1997г.

84 89 95 101 108

Определить среднегодовое производство продукции.

Задача 7.5. Имеются данные о численности передвижных строительных машин в строительной организации за апрель:

с 1 по 12 апреля: 50;

с 13 по 20 апреля: 40;

с 21 по 30 апреля: 45.

Определить среднее число машин за месяц.

Задача 7.6. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия, тыс. руб.: на 1 января – 400; на 1 февраля – 455; на 1 марта – 465; на 1 апреля – 460. Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за I квартал.

Задача 7.7. Имеются следующие данные о товарных запасах розничного торгового предприятия, тыс. руб.: на 1.01.2000 – 61,1; на 1.05.2000 – 57,5; на 1.08.2000 – 51,3; на 1.01.2001 – 74,7. Определить среднегодовой товарный запас торгового предприятия за 2000г.

Задача 7.8. По данным задачи 4 определить аналитические показатели ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста – цепные и базисные, абсолютные значения одного процента прироста, средний темп роста, средний темп прироста, среднее абсолютное значение 1% прироста).

Задача 7.9. Имеются следующие данные об изменении объема выпуска продукции за период 1995-2000гг:

Год	Выпуск продукции, тыс. руб.	Изменения по сравнению с предыдущим годом
Прирост, тыс. руб.	Темп роста, %	Темп при-роста, %	Абсол.значение 1% прироста
		4,0	103,2	6,5	1,62

Рассчитать и проставить в таблицу недостающие данные.

Задача 7.10. Объем продукции фирмы в 1992г. по сравнению с 1991г. возрос на 2%; в 1993г. он составил 105% по отношению к объему 1992г.; а в 1994г. был в 1,2 раза больше объема 1991г. В 1995г. фирма выпустила продукции на сумму 25 млн.руб., что на 10% больше, чем в 1994г.; в 1996г. – на сумму 30 млн.руб., в 1997г. – на 37 млн.руб.

Определить: а) цепные темпы роста; б) базисные темпы прироста (по отношению к 1991г.); в) абсолютные уровни производства продукции за все годы; г) среднегодовой темп роста и прироста за 1991–1997гг.

Задача 7.11. Имеются данные о ежесуточной добыче угля по шахте за декаду:

День	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Добыча угля, т	800 790 804 808 805 810 800 817 820 808

Выявить основную тенденцию ряда методом скользящей средней (провести сглаживание ряда по трем и по пяти точкам). Построить графики.

Задача 7.12. Выпуск валовой продукции на предприятии характеризуется по годам следующими данными (млн. руб.):

2,3 3,1 5,6 9,2 10,0 14,8 18,0.

Произвести аналитическое выравнивание динамического ряда (по прямой и по параболе). Сравнить результаты выравнивания с помощью стандартной ошибки оценки s_t. Дать прогноз на следующий год. Построить графики.

Задача 7.13. Количество чел.-дней работы тракторов в с/х районе по месяцам составило:

Месяц: I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Кол-во дней: 15 15 16 19 23 18 18 22 23 21 17 15

Рассчитать сезонную волну количества отработанных чел.-дней (с помощью индексов сезонности), построить ее график.

Задача 7.14. Имеются данные по региону об отправлении грузов железно-дорожным транспортом, млн.т:

Месяц	Годы

Определить индексы сезонности методом постоянной средней. Построить график сезонной волны.

Задача 7.15. Имеются данные о реализации свежих фруктов и ягод в магазинах города за три года (тонн):

Годы	Месяц	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
I год II год III год	35 30 28 25 22 38 52 85 92 80 75 50 48 42 40 36 38 46 70 95 115 102 94 75 68 55 50 42 54 65 90 120 145 130 120 95

Определить индексы сезонности, пользуясь уравнением тренда. Построить график сезонной волны.

8. Индексы

Задача 8.1. Имеются следующие данные о проданных товарах:

Товары	Единица измерения	Количество, тыс. ед.	Цена, руб.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
А Б	кг л

Определить:

1) индивидуальные индексы объемов продаж (в натуральном выражении), цен и товарооборота;

2) агрегатные индексы физического объема;

3) агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Ласпейреса;

4) общий индекс товарооборота;

5) абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объемов продаж, за счет изменения цен и за счет совместного действия обоих факторов.

Показать взаимосвязь между общими индексами и между абсолютными приростами товарооборота.

Задача 8.2. Имеются следующие данные о продаже масла в магазине по кварталам:

Масло	Ед. измер.	I квартал	II квартал	III квартал
Объем, тыс.ед.	Цена, руб.	Объем, тыс.ед.	Цена, руб.	Объем, тыс.ед.	Цена, руб.
В пачках Развесное	шт. кг	1,2 0,4	9,2 48,0	1,1 0,41	9,8 48,0	0,9 0,38	10,1 52,0

Вычислить цепные и базисные, индивидуальные и общие индексы физического объема и цен. Показать взаимосвязи между ними.

Задача 8.3. Имеются следующие данные о продажах товаров на одном из рынков:

Вид товаров	Единица измерения	Продано товаров, тыс.ед	Цена, руб.
апрель	май	апрель	май
А Б В	шт. л кг			3,2 4,8 24,0	3,3 5,0 26,4

Определить:

1) индивидуальные индексы цен по каждому товару;

2) общий индекс цен;

3) перерасход денежных средств населением в результате среднего повышения цен на товары.

Задача 8.4. Имеются следующие данные по продаже спорттоваров:

Товары	Реализовано во II кв., тыс. руб.	Изменение кол-ва реал-ции в III кв. по срав. с II кв., %
Моторные лодки Туристические палатки Велосипеды		+5,0 +1,5 -2,0

Определить общий индекс физического объема товарооборота.

Задача 8.5. По следующим данным рассчитать средний индекс цен:

Товарные группы	Индексы цен	Товарооборот отчетного периода, тыс. руб.
Ткани х/б Ткани шерстяные Ткани шелковые Ткани льняные Швейные изделия Галантерея	1,00 1,33 0,95 1,21 0,96 0,94

Задача 8.6. Себестоимость и выпуск продукции на предприятии характеризуются следующими данными:

Вид продукции	Единица измерения	Себестоимость, руб.	Выпущено продук-ции в отчетном периоде, тыс. ед.
Базисный период	Отчетный период
	кв. м т шт.			4,8 0,3 6,4

Вычислить:

1) индивидуальные индексы себестоимости продукции;

2) общий индекс себестоимости продукции.

Определить, на сколько возросли затраты на производство продукции за счет среднего увеличения себестоимости.

Задача 8.7. На мебельной фабрике в базисном году общие затраты на производство столов письменных составили 300 тыс. руб., столов кухонных – 160 тыс. руб. В следующем году объем производства увеличился соответственно на 8% и 12%. Определить общий индекс физического объема.

Задача 8.8. В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на непродовольственные товары не изменились, а на продовольственные – возросли в среднем на 20%. Определить, на сколько процентов в среднем повысились цены на все товары вместе, если доля выручки от продажи продовольственных товаров в общей торговой выручке отчетного периода составила 60%.

Задача 8.9. Товарооборот овощного магазина в августе по сравнению с июлем увеличился: по группе овощных продуктов на 15%, фруктов – на 20%. Цены в августе снизились: на овощи – на 30%, на фрукты – на 25%. В товарообороте июля удельный вес овощных продуктов составлял 40%, фруктов – 60%. Определить общее изменение физического объема товарооборота.

Задача 8.10. Как изменился товарооборот, если цены были снижены на 5%, а физический объем товарооборота увеличился на 15%?

Задача 8.11. Как изменилась себестоимость единицы продукции, если индекс физического объема продукции составил 1,25, а производственные затраты увеличились на 15%?

Задача 8.12. Физический объем продукции увеличился на 10%. Себестоимость единицы продукции снизилась на 10%. Что произошло с затратами на производство продукции?

Задача 8.13. Общие затраты труда на производство продукции увеличились на 15%. Физический объем продукции возрос на 20%. Как изменилась трудоемкость продукции?

Задача 8.14. Физический объем продукции вырос на 15%, а Общие затраты труда увеличились на 10%. Как изменилась производительность труда?

Задача 8.15. Общие денежные затраты на производство зерновых в совхозе «Победа» увеличились на 15% при увеличении посевной площади на 5% и повышении урожайности на 10%. Как изменилась себестоимость 1ц зерновых?

Задача 8.16. Имеются данные о выпуске однородной продукции на предприятиях АО:

№ пред прия тия	Выпуск продукции	Себестоимость,руб.	Индив.ин-декс себест-ти i_z
I квартал	II квартал	I кв-л	II кв-л
тыс.ед. q₀	% d₀	тыс.ед. q₁	% d₁	z₀	z₁
					7,0 6,0	8,0 6,5	1,143 1,086

Определить (для двух предприятий вместе):

1) среднюю себестоимость единицы продукции;

2) индекс средней себестоимости продукции;

3) среднее изменение себестоимости продукции;

4) индекс структурных сдвигов.

Задача 8.17. Имеются данные по двум отраслям экономики:

Отрасль	Базисный период	Отчетный период
Выработка прод.на 1 раб-ка, тыс.руб.	Среднеспис. численность работн., чел.	Выработка прод.на 1 раб-ка, тыс.руб.	Среднеспис. численность работн., чел.

Определить индексы производительности труда: а) по каждой отрасли экономики; б) по двум отраслям вместе – индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Сделать выводы.

Задача 8.18. Имеются данные о вкладах населения в Сбербанке

Группы населения	Размер вклада, руб.	Уд.вес вкладов в общем числе
базис.период	отч.период	базис.период	отч.период
Городское Сельское			0,5 0,5	0,6 0,4

Определить общие индексы среднего размера вклада для всего населения (переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов).

Задача 8.19. По следующим данным определить индексы урожайности пшеницы переменного и постоянного состава:

№ бригады	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га
базис.период	отч.период	базис.период	отч.период

Произвести сравнение, сделать выводы.

Задача 8.20. В отчетном периоде по сравнению с базисным средняя урожайность зерновых культур повысилась на 20%. За счет изменения урожайности каждой из культур средняя урожайность зерновых повысилась на 50%. Определить индекс влияния структурных сдвигов на изменение средней урожайности.