Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (рис. 6.4).

Рис 6.4

АВ b, то есть АВ принадлежит плоскости b и АВ ^ плоскости a. Плоскость b ^ плоскости a.

Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q(D АВС) (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Алгоритм построения плоскости, перпендикулярной данной

Вербальная форма	Графическая форма
1. Известно, что для построения прямой, перпендикулярной плоскости, необходимо построить горизонталь и фронталь в плоскости. а) Заметим, что построение перпендикуляра упрощается, так как стороны плоскости Q(D АВС) являются прямыми уровня: АВ (А1В1; А2В2) – фронталь АС (А1С1; А2С2) – горизонталь. б) Возьмем на прямой l произвольную точку К
2. Через точку К, которая принадлежит прямой l, проводим прямую n ^ Q, т.е. n1^ A1C1 и n2^ A2В2. Искомая плоскость будет определяться двумя пересекающимися прямыми, одна из которых задана – l, а другая – n является перпендикулярной к заданной плоскости: P(l n)^ Q (D ABC)

Выводы

1. Прямая и плоскость в пространстве могут:

а) не иметь общих точек;

б) иметь хотя бы одну общую точку;

в) иметь множество общих точек.

В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.

2. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.

3. Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую – линию пересечения.

4. Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку.

5. Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.

Вопросы для самоанализа

1. Назовите признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.

2. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

3. По какой линии пересекаются две горизонтально проецирующие плоскости?

4. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей, прямой и плоскости?

5. Какова последовательность построения точки пересечения прямой и плоскости?

6. Как провести плоскость, перпендикулярную данной прямой (через точку на прямой или через точку вне прямой)?

7. Как провести перпендикуляр к прямой общего положения?

8. Как через прямую провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости?

Основные понятия, которые необходимо знать:

– признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости двух плоскостей;

– принадлежность прямой двум плоскостям одновременно;

– принадлежность точки прямой и плоскости.

Способы деятельности, которыми необходимо владеть:

– построение линии пересечения двух плоскостей;

– построение точки пересечения прямой и плоскости;

– определение видимости прямой и плоскости относительно плоскостей проекций;

– построение прямой, параллельной плоскости;

– построение прямой, перпендикулярной плоскости;

– построение плоскости, перпендикулярной или параллельной данной плоскости.