Параллельное проецирование

Аппаратом параллельного проецирования является плоскость проекций p и заданное направление проецирования s. Центр проецирования S удален в бесконечность. Сущность способа в том, что все проецирующие лучи параллельны друг другу. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования.

Определим параллельные проекции точек A и B (рис. 1.3а).

Для этого через точки параллельно направлению проецирования проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью p и найдем проекции точек A _p и B _p.

Обратим внимание, что каждой точке пространства соответствует проекция на плоскости. Однако каждой проекции на плоскости соответствует бесконечное множество точек пространства, т.е. проекция точки на плоскость не определяет ее положение в пространстве.

Рис. 1.3а. Параллельное проецирование.

Для однозначного определения точки в пространстве необходимо иметь два направления проецирования s ₁ и s ₂ (рис. 1.3б). Тогда две проекции на плоскость A _1p и А _2p однозначно определяют ее положение в пространстве.

Рис. 1.3б. Параллельное проецирование.

 

 

Основные свойства параллельного проецирования

При проецировании между геометрическим объектом и его проекцией существует геометрическая взаимосвязь. Некоторые свойства оригинала сохраняются и на пропорции. Такие неизменные свойства называются инвариантными (независимыми).

Перечислим их без доказательства.

1. проекция точки есть точка.

2. Проекция прямой есть прямая (в общем случае).

3. Не изменяется взаимная принадлежность геометрических объектов и их проекций.

4. Проекции отрезков взаимно параллельных прямых параллельны.

5. Проекции точки пересечения линии есть точки пересечения проекций этих линий.

6. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а другая ей не принадлежит.

ГЛАВА 2. ТОЧКА

2.1. Ортогональная система двух плоскостей проекций.
Эпюр Монжа

Ортогональное или прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного (косоугольного) проецирования. Направление проецирующих лучей в ортогональном проецировании перпендикулярно плоскости проекций.

Метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости носит название метода Монжа. Гаспар Монж (1746 - 1818 г.) – француз, основоположник начертательной геометрии.

Зададим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций p₁ ^ p₂ (рис. 2.1) p₁ – горизонтальная плоскость проекций, p₂ – фронтальная плоскость проекций. Линия пересечения плоскостей называется осью проекций и обозначается х ₁₂.

Рис. 2.1. Система 2^х плоскостей проекций.

Четыре двухгранных угла, на которые плоскости делят пространство, называются четвертями.

Спроецируем точку А, произвольно выбранную в первой четверти, в данной системе плоскостей проекций. Направление лучей проецирования s ₁ перпендикулярно p₁ и s ₂ перпендикулярно p₂. А ₁ – горизонтальная проекция точки А, А ₂ – фронтальная проекция точки А. Проецирующие лучи АА ₁ и АА ₂ образуют плоскость, которая пересекает плоскость проекций по прямым А _х А ₁ и А _х А ₂. Эти прямые перпендикулярны оси x ₁₂ и называются линиями проекционной связи.

Повернем плоскость p₁ вокруг оси x ₁₂ до совмещения с p₂ на 90° в направлении, указанном на чертеже (рис. 2.1). Получим одну плоскость – плоскость чертежа или эпюр (фр. - чертеж) (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Эпюр точки.

Эпюром точки называется чертеж, на котором изображены две проекции точки, расположенные в проекционной связи.

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Если из проекции А ₁ и А ₂ восстановить перпендикуляры к плоскостям проекций, то точка А определится однозначно. Точка А в пространстве определена тремя координатами x, y, z, которые можно измерять на эпюре.