Тема 2. Вступ до математичного аналізу

РОЗДІЛ IV: Функції

 

9. Знайти область визначення функцій :

1.

2.

3.

4. ;

 

10. Знайти множину значень функцій:

1.

2.

3.

11. З’ясувати парність (непарність) функцій:

1.

2..

3..

 

12. Знайти основні періоди функцій:

1.

2.

 

РОЗДІЛ V: Границя і неперервність

 

 

1). Довести, що при послідовність має границю число 1, починаючи з якого n абсолютна величина різниці між і 1 не перевищує ?

2). Довести, що при послідовність має границю число .

3). Довести, що при послідовність ; ; має границю, рівну 4.

4). Довести, що при послідовність 1; ; ;….. ……. є нескінченно малою.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

5). Показати, що при х=4 функція у= має розрив.

6). Показати, що при х=5 функція у= має розрив.

7). Знайти точки розриву функції

8). Які з даних функцій є неперервними в точці х=1?

Якщо є порушення неперервності, встановити характер точки розриву

у= ; у= , ;

у= ; у= ;

 

 

ТЕМА ІІІ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

РОЗДІЛ VI: Похідні та диференціали

 

 

Знайти похідні функцій:

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) ;

33) ; 34)

35) ; 36) .

Знайти похідні функцій і обчислить їх значення при .

37) ; ; 38) ; ;

39) ; ; 40) ; ;

41) Скласти рівняння дотичної до кривої

а) в точках перетину її з прямою ;

б) паралельно і перпендикулярно цій прямій.

42) Знайти кут між кривими і прямою .

43) Тіло рухається прямолінійно по закону , де вимірюється в метрах, а t- в секундах. Знайти швидкість і прискорення тіла в момент .

Знайти похідні від неявних функцій:

44) ; 45) ;

46) ; 47) .

Знайти похідні від функцій заданих параметрично:

48) ; 49) ;

50) Знайти приріст і диференціал функції в точці при .

51) Обчислить приріст і диференціал функції в точці при

1) ;

2) .

52) Знайти абсолютну похибку і відносну похибку , які допускаються при заміні приросту функції її диференціалом.

53) Знайти диференціал заданих функцій:

а) ;

б) ;

в) .

54) Використовуючи поняття диференціала, обчислити:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

55) Використовуючи поняття диференціала, з'ясувати, з якою точністю повинен бути зміряний радіус круга, щоб його площу можна було визначить з точністю до 10%?

Використовуючи поняття диференціала, визначити, на скільки процентів зміниться величина степеня при зміні основи степеня на 5%.

56) Обсяг продукції (ум.од.) цеху на протязі робочого дня представляє функцію

,

де t - час (годинах). Знайти продуктивність праці через 2 год. після початку роботи.

57) Залежність між витратами виробництва y (грошові од.) і обсягом продукції, що виробляється x (од.), виражається функцією

.

Визначить середні і граничні витрати при обсязі продукції, що дорівнює 5 од.

58) Функції попиту g і пропозиції s від ціни p виражаються відповідно рівняннями

і .

Знайти:

а) рівноважну ціну;

б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

в) зміну доходу (в процентах) при підвищені ціни на 5% від рівноважної.