Основные понятия и зависимости

Одним из основным объектом сопротивления материалов является стержень. Главными атрибутами стержня являются его ось и поперечное(перпендикулярного оси) сечение.Для нахождения оси стержня необходимо определить положения центров тяжести поперечных сечений стержня. Кроме того, для расчетов прочности и жесткости стержня необходимо определить положение главных центральных осей инерции стержня и геометрические характеристики поперечного сечения как плоской фигуры.

Статическим моментом площади сечения (плоской фигуры) относительно оси (произвольной расположенной в плоскости фигуры) называется интеграл вида: где: dF – площадь произвольной элементарной площадки; h - расстояние от этой площадки до оси, знак F под интегралом означает, что интеграл берется по всей площади рассматриваемого сечения (фигуры). Обычно сечение рассматривается в некоторой системе координат ZY (в дальнейших выкладках система координат всегда подразумевается правой то есть ось Z вправо ось Y вверх), тогда статические моменты сечения относительно этих осеймогут быть выражены как: ; , где z и y – координаты произвольной элементарной площадки. Размерность статического момента – единица длины в кубе, например - см³.По определению статический момент площади обладает свойством аддитивности, то есть если сечение состоит из нескольких фигур, то статический момент всего сечения относительно любой оси может быть найден как где S_i - статический момент i- ой фигуры сечения.

Центром тяжести сечения (фигуры) называется точка обладающая следующим свойством: статический момент фигуры относительно любой оси проведенной через центр тяжести равен нулю.

Центральными осями сечения называются оси, проходящие через его центр тяжести. Очевидно, что для любого сечения центральных осей бесконечное множество.

Если положение центра тяжести, какой либо фигуры известно, то статический момент ее относительно любых осей Z и Y может быть определен просто(без операции интегрирования) как ; где F - площадь фигуры , - координаты центра тяжести в осях ZY.

В практических расчетах для определения статического момента сложное сечение разбивают (часто приближенно) на фигуры, положение центра тяжести которых заранее известно и находят статический момент всего сечения как: ; , где: F_i - площадь i- ой фигуры; , - координаты центра тяжести i- ой фигуры в осях ZY.

Также просто определяются координаты центра тяжести сложного сечения осях ZY:

; .

Формулы для определения положение центров тяжести и площадей большого количества фигур можно найти в справочниках по Сопротивлению материалов, например [1].

Моментом инерции площади сечения относительно оси (лежащей в плоскости фигуры) или осевым моментом инерции сечения называется интеграл вида: где: dF – площадь произвольной элементарной площадки; h - расстояние от этой площадки до оси, знак F под интегралом означает, что интеграл берется по всей площади рассматриваемого сечения (фигуры). Моменты инерции относительно произвольных декартовых осей ZY: ; , где z и y – координаты произвольной элементарной площадки.

Полярным моментом инерции площади сечения относительно произвольной точки (полюса О) называется интеграл вида: где r – расстояние от произвольной элементарной площадки dF до полюса. Полярный момент инерции сечения относительно начала декартовой системы координат YZ связан с моментами инерции относительно координатных осей простым соотношением:.

Размерности осевых и полярных моментов инерции – единица длины в четвертой степени, например см⁴. По определению осевые и полярные моменты инерции сечения не могут быть отрицательными или равными нулю.

Центробежным моментом инерции сечения фигуры относительно произвольных декартовых осей ZY называется интеграл вида: где z и y – координаты произвольной элементарной площадки dF. Размерность центробежного момента инерции – единица длины в четвертой степени, например см⁴. Центробежный момент инерции сечения в отличие от осевого может быть отрицательным или равным нулю.

Главными осями инерции сечения называются оси относительно, которых центробежный момент инерции равен нулю: . Положение главных осей инерции легко найти для фигур имеющих хотя бы одну ось симметрии, для таких фигур одна из главных осей совпадает с осью симметрии, а вторая ей перпендикулярна.

Главными центральными осями инерции сеченияназываются главные оси проходящие через центр тяжести сечения. Главные центральные оси сечения часто обозначают U и V для главных центральных осей сечения выполняются одновременно условия:;;.

Главными моментами инерции площади сечения называются осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей инерции: , . Главные моменты инерции сечения обладают свойством экстремальности, то есть один из главных моментов является максимальным, а другой минимальным из всех моментов инерции относительно центральных осей.

Определение положения главных центральных осей и главных моментов инерции поперечного сечения является необходимым этапом в расчетах стержней.

Также как и статические моменты, моменты инерции обладают свойством аддитивности и моменты инерции сложного сечения относительно декартовых осей ZY: ; ; ; где , , , - моменты инерции i- ой фигуры составляющей сечение относительно осей ZY.

В расчетах моментов инерции широко используется теорема Штейнера, которая позволяет найти моменты инерции относительно осей Y₁Z₁ параллельных произвольным центральным Z_сY_с (при условии, что моменты инерции относительно этих центральных осей известны): ; ; где и расстояния соответственно между осями Y_с и Y₁ , Z_с и Z₁. Теорема Штейнера и свойство аддитивности моментов инерции позволяет в практических расчетах находить моменты инерции сложных сечений, не прибегая к операции интегрирования.

Рассмотрим порядок определения моментов инерции сложного (составного) сечения относительно произвольных центральных осей. Будем считать, что положение центра тяжести сечения определено заранее.

а). Сложное сечение разбивают на простые фигуры моменты инерции, которых можно найти по готовым формулам.

б). Вычисляют моменты инерции отдельных фигур относительно их собственных центральных осей: , , , . В справочниках (например [1]) приводятся формулы для вычисления моментов инерции большого количества фигур. Например, момент инерции прямоугольника с высотой - h и основанием – b относительно его собственных главных центральных осей (осей симметрии): - относительно оси параллельной основанию; Y: – относительно оси перпендикулярной основанию.

в). Используя теорему Штейнера и свойство аддитивности определяют моменты инерции сложного сечения относительно осей Z_с Y_с: ; ; , где и расстояния между соответствующими собственными центральными осями инерции i- ой фигуры и центральными осями всего сечения Z_с Y_с. Необходимо отметить, что координаты а_i и b_i, входящие в формулы, следует подставлять с учетом их знака (в зависимости от взаимного расположения осей).

Положение главных центральных осей инерции сечения определяется углом поворота произвольных центральных осей: , причем положительный угол соответствует повороту против часовой стрелки. Угол не может быть больше ±45°.

Главные моменты инерции сечения могут быть определены по формуле:

_. Максимальный главный момент инерции будет относительно той оси которая получается поворотом на угол центральной оси момент инерции относительно которой был максимален. Очевидно, что должно выполнятся равенство: .

Важными геометрическими характеристиками поперечных сечений при расчете стержней на прочность при изгибе и на устойчивость являются радиусы инерции сечения и моменты сопротивления.

Радиусом инерции сечения относительно главных центральных осей называется отношение: ; .

Осевым моментом сопротивления (или моментом сопротивления изгибу) называется отношение момента инерции относительно главной центральной оси к расстоянию z_max и y_max от нее до наиболее удаленной точки поперечного сечения: ; .

 

 

Задача №1

Задание Для заданного составного сечения определить положение главных центральных осей инерции сечения и рассчитать главные моменты инерции сечения.

Исходные данные. Справочные величины:

Каждый элемент сечения уголок(№11/7(8))-1, швеллер(№20)-2, прямоугольник-3 вычерчиваем на чертеже собственные центральные оси для каждого составного элемента сечения z_iy_i (координаты ЦТ берутся из справочника) и относим их к параллельным осям Z₀Y₀.

-для уголка:

F₁=1390 мм² – площадь поперечного сечения

z₁=36.1 мм; y₁=16.4 мм – координаты центра тяжести

I_zc1=546000 мм⁴; I_yc1=1720000 мм⁴ – осевые моменты инерции

I_{u min}=323000 мм⁴ - главный момент инерции

tgα=0.400 – угол наклона главных осей

 

-для швеллера:

F₂=2340 мм² – площадь поперечного сечения

z₂=100 мм; y₂=20.7 мм – координаты центра тяжести

I_zc2=1130000 мм⁴; I_yc2=15200000 мм⁴ – осевые моменты инерции

 

Решение:

Сечение, вычерченное в масштабе, относим к осям координат Z₀Y₀, параллельным сторонам контура сечения.

- для прямоугольника:

F₃=4000 мм² – площадь поперечного сечения

z₃=10 мм; y₃=100 мм – координаты центра тяжести

 

рис.1