Зачет № 2. Параллельность в пространстве

Вопросы

1. Определение параллельности двух прямых в пространстве (какие две прямые в пространстве не параллельны).

2. Теорема о том, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной (формулировка, доказательство).

3. Определение двух скрещивающихся прямых в пространстве (какие две прямые в пространстве не скрещиваются).

4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

5. Признак скрещивающихся прямых (формулировка, доказательство).

6. Определение параллельности прямой и плоскости (взаимное расположение прямой и плоскости).

7. Свойство, связывающее понятие параллельности прямой и плоскости и параллельности двух прямых (признак параллельности двух прямых в пространстве, формулировка, доказательство).

8. Признак параллельности прямой и плоскости (формулировка, доказательство).

9. Определение параллельности двух плоскостей (взаимное расположение двух плоскостей).

10. Свойство, связывающее понятие параллельности двух плоскостей и параллельности двух прямых (формулировка, доказательство).

11. Признак параллельности двух плоскостей (формулировка, доказательство).

12. Определение вектора в пространстве (обозначение, изображение, понятие длины вектора, одинаково и противоположно направленные векторы, равенство векторов).

13. Свойства сложения векторов (запись, доказательства).

14. Свойства умножения вектора на число (запись, доказательства).

15. Понятия коллинеарных и компланарных векторов (определения, примеры).

16. Теорема о представлении компланарных векторов (формулировка, доказательство).

17. Понятие параллельного переноса (определение, примеры, свойства).

18. Понятие параллельного проектирования (определение, примеры, параллельная проекция точки, параллельная проекция фигуры).

19. Свойства параллельного проектирования (формулировки, доказательства).

20. Построение параллельных проекций плоских фигур (различные расположения относительно направления и плоскости проектирования).

 

Задачи

1. Дан прямоугольный параллелепипед A…D ₁. E и F – точки пересечения диагоналей граней ABB ₁ A ₁ и DCC ₁ D ₁. Докажите, что прямая EF параллельна плоскостям ABC и A ₁ B ₁ C ₁.

2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.

3. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, параллельную данной плоскости.

4. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проведите плоскость, параллельную данной.

5. Даны две параллельные прямые. Через одну из них проведите плоскость, параллельную другой прямой.

6. Через одну из скрещивающихся прямых проведите плоскость, параллельную другой прямой.

7. Через две скрещивающиеся прямые проведите параллельные плоскости.

8. Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

9. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

10. Докажите, что два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

11. Докажите, что две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.

12. Даны три вектора , , , каждые два из которых неколлинеарны. Найдите их сумму, если вектор + коллинеарен вектору , а вектор + коллинеарен вектору .

13. В прямом параллелепипеде A…D ₁ проведите сечение через середины двух ребер, выходящих из одной вершины нижнего основания и точку пересечения диагоналей верхнего основания.

14. Проведите сечение через сторону нижнего основания прямоугольного параллелепипеда и через точку, принадлежащую боковому ребру противолежащей грани.

15. Дан параллелепипед A…D ₁. Точки E, F, G принадлежат соответственно ребрам AD, CC ₁ и внутренней части грани A ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью EFG.

16. Дан параллелепипед A…D ₁. Точки K, L, M принадлежат соответственно ребру BB ₁ и внутренним частям граней BB ₁ C ₁ C и A ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KLM.

17. Дана прямая треугольная призма A…C ₁. Проведите сечение через точки D, E, принадлежащие соответственно ребрам BB ₁, CC ₁ и точку F – внутреннюю точку призмы.

18. Проведите сечение в треугольной призме через две точки, принадлежащие двум боковым граням, и точку, принадлежащую противоположному ребру нижнего основания.

19. В кубе проведите сечение через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и точку пересечения диагоналей куба – центр куба.

20. В прямой 5-угольной призме проведите сечение через две точки, принадлежащие боковым ребрам одной грани, и точку внутри призмы.