Определение линейного пространства

Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

I.

II.

III. (нулевой элемент, такой, что ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

V.

VI.

VII.

VIII.
Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).

Подпространство линейного пространства

 

Множество называется подпространством линейного пространства V, если:

1)

2)

2. Д ва вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда они коллинеарны.

Два вектора плоскости линейно не зависимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов. Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :
, где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе.

3. Определение 1. - мерным аффинным пространством над полем называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. Существует по меньшей мере одна точка ¹⁾.

2. Каждой паре точек , заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через .

3. Для каждой точки и каждого вектора существует одна и только одна точка такая, что ²⁾.

4. (Аксиома параллелограмма.) Если , то .

5. Каждому вектору и каждому числу поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается и называется произведением вектора на число .

6. для любого вектора .

7. для всех .

8. для любых векторов .

9. для всех .

10. Существует линейно независимых векторов, но любые векторов линейно зависимы между собой.

Пример 1. Трехмерное пространство является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел

АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямолинейная система координат в аффинном пространстве. А. с. к. на плоскости задается упорядоченной парой неколлинеарных векторов е ₁ и е ₂ (аффинный базис) и точкой О (начало координат). Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам базиса, наз. осями координат. Векторы е ₁ и е ₂ задают на осях координат положительное направление. Ось, параллельная вектору е ₁, наз. осью абсцисс, а параллельная вектору е ₂, - осью ординат. Аффинными координатами точки М наз. упорядоченная пара чисел (х, у), к-рые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по векторам базиса:

4. Евклидовым пространством называется n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. калярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.

Если угол между векторами острый: (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным: .

Если угол между векторами тупой: (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: .

Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как