Матрица линейного преобразования

Линейная зависимость векторов.

Выражение вида λ 1* A 1+ λ 2* A 2+...+ λn * An называется линейной комбинацией векторов A 1, A 2,..., An с коэффициентами λ 1, λ 2,..., λn.

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A 1, A 2,..., An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ 1, λ 2,..., λn, при котором линейная комбинация векторов λ 1* A 1+ λ 2* A 2+...+ λn * An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A 1 x 1+ A 2 x 2+...+ Anxn = Θ имеет ненулевое решение.

Набор чисел λ 1, λ 2,..., λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2,..., λn отлично от нуля.

Базис векторного пространства.

Базисом системы векторов A 1, A 2,..., An называется такая подсистема B 1, B 2,..., Br (каждый из векторов B 1, B 2,..., Br является одним из векторов A 1, A 2,..., An), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. B 1, B 2,..., Br линейно независимая система векторов;

2. любой вектор Aj системы A 1, A 2,..., An линейно выражается через векторы B 1, B 2,..., Br

r - число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m -мерных векторов содержит m различных единичных векторов E 1 E 2,..., Em, то они образуют базис системы.

Разложение вектора по базису.

Разложить вектор X по базису e 1, e 2, e 3 - значит, представить вектор

X в виде: X = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3; где e 1 = (x 1, y 1, z 1), e 2 = (x 2, y 2, z 2),

e3 = (x3, y3, z3),

x = (x, y, z)

Замена базиса векторного пространства.

процедура замены базиса и преобразования координат (т.е. процедура перехода от одного пространства к другому). Транспонированная матрица А* составленная из коэффициентов называется матрицей замены базиса на базис (). Сама же матрица А, составленная из коэффициентов является матрицей замены базиса на базис ().

Евклидово пространство.

Линейное пространство наз евкл, если в нем определена операция скалярного произведения,т е двум люб векторам х и у, сопоставлено вещественное число, обозначаемое (х.у) и это соотв удовл след усл

(x, y) = (y, x),

(α· x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Ортонормированный и ортогональный базисы.

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n -мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e 1, e 2,..., en — ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства и x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2,..., n. Базис e1, e2, …, en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (ei, ej) = 0 " i ≠ j, т.е. все векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.

Линейные преобразования и их свойства.

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 (x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент − x (x + (− x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно:;

1· x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Матрица линейного преобразования.

Линейными операциями называются операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соот ветствующих элементов слагаемых. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента на число

элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых:

12. Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования.

Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:A .

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .