Классификация точек разрыва функции

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого и второго рода.

Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы:

и .

При этом: а) если то точка разрыва называется точкой устранимого разрыва; б) если , то точка разрыва называется точкой конечного разрыва.

Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Определение. Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в точке .

¦ 1) По первому определению: .

2) По второму определению:

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность.

¦ – точка разрыва.

не существует, в других точках .

– устранимый разрыв.

Функцию в точке можно доопределить

Пример 3. Найти точки разрыва функции и определить их вид.

в точке разрыв первого рода.

в точке функция непрерывна.

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность

в точках и .

1) – функция непрерывна.

2) не существует – следовательно, - точка разрава

Имеем разрыв II рода.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функции, непрерывные на замкнутом отрезке, обладают рядом свойств, которые сформулируем в виде теорем (без доказательства).

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют точки и , такие, что

, . Следовательно, для всех .

На рисунке .

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она на нем органичена.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между

и . Т.е. для любого числа , заключенного между и , найдется внутри этого отрезка такая точка , где .

Прямая пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка , в которой .

Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Понятие производной,

Ее геометрический и физический смысл

Определение производной

Определение. Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е. .