Упражнение 1. Определение периода свободных колебаний

Исследование затухающих колебаний

в колебательном контуре

Цель работы: изучить затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Определить период свободных затухающих колебаний, логарифмический декремент затухания и исследовать зависимость периода свободных колебаний от параметров контура.

Приборы и оборудование: осциллограф, лабораторный макет установки для возбуждения колебаний, конденсатор, две эталонных катушки индуктивности, переменное сопротивление, соединительные провода, дроссельная катушка 1200 витков.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Электрическими колебаниями называют периодические изменения тока и напряжения в электрической цепи. В общем случае в каждый момент времени при колебаниях ток на разных участках цепи оказывается не одинаковым, так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, хотя и с очень большой. Однако во многих случаях изменения тока происходят достаточно медленно и можно считать его одинаковым во всех участках цепи. Такой ток называют квазистационарным. Для расчётов квазистационарных токов можно пользоваться формулами для статических полей. В частности, можно применять закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения.

Изучать электромагнитные колебания удобнее всего с помощью колебательного контура, состоящего из электрической ёмкости С и индуктивности L.

Свободные колебания происходят в изолированном контуре после подействовавшего на него внешнего возмущения. Понятие свободные колебания означает, что процесс колебаний в этом случае определяется (в основном) свойствами контура.

Для возбуждения колебаний в состав колебательного контура необходимо включить источник ЭДС Е и ключи К ₁ и К ₂, как показано на рис. 1.

Рис.1. Схема возбуждения колебаний в колебательном контуре.

В начальный момент ключ К ₁ разомкнут, а ключ К ₂ замкнут. После зарядки конденсатора до напряжения U ₀ ключ К ₂ размыкается, а ключ К ₁ замыкается, и в колебательном контуре возникают электромагнитные колебания.

Начальные условия, при которых возникают свободные колебания, определяют начальную фазу процесса и амплитуду колебаний. Характер же процесса свободных колебаний, как следует из данного выше определения этого типа колебаний, зависит от свойств самой системы.

Напомним вкратце ход процесса электромагнитных колебаний в контуре, имеющий место при любых начальных условиях. Процесс колебаний в таком контуре заключается в периодической перезарядке конденсатора и протекании переменного тока в цепи, замыкающей пластины конденсатора. При этих колебаниях энергия электростатического поля заряженного конденсатора C периодически переходит в энергию магнитного поля, запасаемую в индуктивности L. В результате наличия в контуре неизбежного активного сопротивления R (сопротивления потерь энергии) первоначальный запас энергии системы расходуется (даже при отсутствии резистора) на выделение тепла в проводах, составляющих контур и индуктивность L. Поэтому разряд конденсатора через такой контур является процессом не вполне периодическим. Амплитуда напряжения на конденсаторе после каждой его перезарядки становится все меньше; амплитуда тока также убывает со временем.

Сила тока в контуре связана с зарядом и разностью потенциалов на конденсаторе соотношением:

где q = Cu - есть заряд конденсатора. Знак «минус» указывает на то, что положительным считается то направление тока, которое соответствует убыли разности потенциалов на пластинах конденсатора. Изменение силы этого тока в катушке индуктивности вызывает электродвижущую силу самоиндукции, равную

Согласно второму закону Кирхгофа u + e _i = iR. Подставляя значения e _i и i, получим:

или

(1)

Введём новые обозначения:

; , (2)

где a - коэффициент затухания; w₀ – циклическая частота собственных колебаний (колебаний без затухания), и перепишем формулу (1) в виде:

_.(3)

Уравнения (1) и (3) есть уравнения свободных колебаний в контуре, составленном из L, С и R. Если выполняется условие a < w₀, то решение уравнения (3) может быть записано в форме:

(4)

где есть циклическая частота свободных колебаний в контуре, U₀ и j - константы, зависящие от начальных условий колебательного процесса, а U_m – амплитуда.

Рис.2. Вид затухающих колебаний.

Из решения следует, что напряжение на конденсаторе U с течением времени изменяется по гармоническому закону с амплитудой колебаний, убывающей со временем по экспоненциальному закону:

, (5)

где U ₀ - начальное напряжение на конденсаторе (при t = 0). Вид затухающих колебаний представлен на рис.2.

Период свободных колебаний выражается формулой

(6)

Если a << w₀, то членом R ²/4 L ² можно пренебречь, и мы получим формулу Томсона:

, (7)

определяющую период свободных колебаний в контуре без затухания.

Величина a, определяющая степень затухания, называется коэффициентом затухания. На практике вместо нее часто употребляется другая мера затухания:

(8)

где U_n и U_n ₊₁- величины последовательных амплитуд, отстоящих друг от друга на один период. Величина g называется логарифмическим декрементом затухания. Ёе связь с a можно установить следующим образом. Так как U_n ₊₁= U_n Ч e^- ^a ^t, то U_n / U_n₊ ₁= e ^a ^t. Отсюда следует:

Рис. 3. Апериодический режим колебаний.

. (9)

Из уравнения (9) видно, что чем меньше R и чем больше L, тем меньше затухание, тем ближе подходит описываемая выражением (4) кривая к гармонической функции, и тем ближе период Т к величине Т ₀, определенной по формуле Томсона. Наоборот, при значительном возрастании R затухание, так же как и период, увеличивается. При a > w₀, когда вещественного решения уравнения (3) не существует, разряд будет изображаться кривой, приведенной на рис.3; такой процесс называется апериодическим. Режим, который разграничивает колебательный и апериодический процессы (a = w₀), называется критическим, а соответствующее сопротивление потерь в контуре определяется формулой:

(10)

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Описание установки. Схема установки для наблюдения осциллограммы свободных колебаний показана на рис. 4.

Рис. 4. Схема установки для наблюдения затухающих колебаний.

Рис. 5. Примерная осциллограмма напряжения на конденсаторе.

Конденсатор С, катушка индуктивности L и переменное сопротивление R образуют колебательный контур с потерями. Колебания в контуре (колебания напряжения на конденсаторе) наблюдаются с помощью осциллографа. Примерный вид осциллограммы показан на рис. 5. Диод VD предназначен для периодического возбуждения в контуре свободных колебаний. Рассмотрим упрощенно работу этой установки. В течение положительного полупериода питающего напряжения диод открыт (его сопротивление близко к нулю) и в контур поступает энергия; контур работает в режиме вынужденных колебаний, что соответствует участку I на рис. 5. При отрицательном полупериоде питающего напряжения диод заперт (его сопротивление очень велико) и в контуре наблюдается режим свободных затухающих колебаний (участок II на рис. 5).

Упражнение 1. Определение периода свободных колебаний

1. Собрать колебательный контур, взяв для этого эталонную катушку с индуктивностью L = 0,001 Гн, конденсатор емкостью С = 1,0 мкФ и потенциометр R = 30…50 Ом, чтобы наблюдать на экране осциллографа не менее 6…8 периодов свободных колебаний.

2. Подготовить к работе установку по схеме, представленной на рис.4. Конденсатор контура соединить со входом «Y» осциллографа. Подвижный контакт потенциометра поставить в верхнее положение (R = 0).

3. Включить осциллограф и на его экране добиться четкой картины затухающих колебаний, регулируя режим синхронизации, скорость развёртки и чувствительность канала. Пользуясь регулятором усиления и рукояткой смещения луча по горизонтали, установить на экране осциллографа рабочий участок осциллограммы, соответствующий свободным колебаниям.

4. Измерить частоту и период свободных колебаний.