Наращение по сложным процентам

Александрова И.А.

Кошкин В. Л.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

РУКОВОДСТВО ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Владимир 2008

ББК 22.11 я 73

Александрова И.А., Кошкин В.Л. Финансовая математика: Руководство по решению задач: - Владимир: Владимирский государственный гуманитарный университет, 2008 г. – 63 с.

Методическая разработка предназначено для студентов Владимирского государственного гуманитарного университета, представляет собой ряд многовариантных задач по финансовой математике, рекомендации по решению, примеры с решениями по каждому разделу.

Составители:	к. ф.-м. наук, доцент Александрова И.А. к.геол.-мин.наук, доцент Кошкин В.Л.
Ответственный за выпуск:	к. ф.-м. наук, доцент Игонин В.А.
Рецензент:	к.ф.-м.наук, доцент Бурков В.Д.

Печатается по решению редакционно – издательского совета Владимирского государственного гуманитарного университета.

ISBN 5-87-846-271-0

Оглавление:

Введение
1. Простые проценты
1.1. Простая процентная ставка
1.2. Простая учетная ставка
2. Сложные проценты
2.1. Наращение по сложным процентам
2.2. Начисление сложных процентов при дробном количестве лет
2.3. Номинальная процентная ставка. Начисление процентов несколько раз в году
2.4. Начисление процентов несколько раз в году при дробном количестве периодов начисления
2.5. Непрерывное начисление процентов
2.6. Эффективная годовая процентная ставка
2.7. Расчет срока кредита и процентных ставок
3. Потоки платежей
3.1. Формулы наращенной суммы
3.2. Формулы современной величины
3.3. План погашения кредита
4. Инфляция
4.1. Понятие инфляции
4.2. Простая процентная ставка с учетом инфляции
4.3. Простая учетная ставка с учетом инфляции
4.4. Сложная процентная ставка с учетом инфляции
5. Приложение
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

7. Литература

Введение

Данное пособие предлагает систематизированное изложение основных понятий методов финансовых вычислений.

В пособии рассматриваются основные понятия, которыми оперируют в практической деятельности, такие как процент, ставка процента, учетная ставка, современная (текущая) стоимость платежей и т.д., методы наращения и дисконтирования платежей, принципы, лежащие в основе финансовых вычислений, современная практика расчетов.

В настоящее учебное пособие вошли также основы количественного анализа потоков платежей, в частности, - финансовых рент (аннуитетов). Потоки денежных платежей часто встречаются в практике. Например, регулярные взносы для формирования какого-либо фонда (инвестиционного, страхового, пенсионного, для погашения долга), периодическая уплата процентов, доходы по облигациям и ценным бумагам, выплата пенсий, поступление доходов от коммерческой или предпринимательской деятельности, налоговые платежи и т.д. Такие методы имеют важное значение в практике финансовых расчетов и позволяют определить как обобщающие характеристики рент (например, сумму, текущую стоимость), так и отдельные их параметры.

Материал пособия имеет общий характер и является базой для ряда дисциплин. Он может быть применен в расчетах любых финансовых операций: в финансовом менеджменте, в страховом деле, в анализе инвестиционных проектов, расчете кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской деятельности и т.д.

Простые проценты

1.1. Простая процентная ставка.

Проценты называются простыми, если за базу их начисления берется только первоначальная сумма.

Пример 1.1. Банк начисляет на вклад 10000 руб. 20% годовых по ставке простых процентов. Найти сумму на счете через 1 год, 2 года, 3 года, …, n лет.

Решение:

Через 1 год на счете будет денег на 20% больше: 10000·(1+0,20)=12000 (руб.);

через 2 года на счете будет: 10000·(1+0,20)+2000=14000 (руб.);

через 3 года на счете будет: 10000·(1+0,20)+4000=16000 (руб.).

Эти данные можно записать следующим образом:

1 год – 12000 руб. = 10000·(1+1·0,20) руб.

2 года – 14000 руб. = 10000·(1+2·0,20) руб.

3 года – 16000 руб. = 10000·(1+3·0,20) руб.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

n лет – сумма на счете = 10000·(1+n·0,20) руб.

Формула для вычисления простой процентной ставки имеет вид:

S = P·(1 + n·i),

(1.1)

Где

S – сумма на счете (наращенная сумма);

P – первоначальная сумма;

n – срок пользования кредитом, в годах;

i – простая процентная ставка.

Если раскрыть скобки формула приобретает вид:

S = P + P·n·i = P + I,

(1.2)

Где

I = P·n·i – процентные деньги (Interest).

Наращенная сумма всегда равна первоначальной сумме плюс процентные деньги.

Пример 1.2. Кредит 20 000 руб. выдан на 6 месяцев под 24% годовых, начисляемых по простой процентной ставке. Вычислите возвращаемую сумму.

Дано:	Решение:
P = 20 000 руб. n = 0,5 лет i = 24% = 0,24	S = P·(1 + n·i) = 20 000·(1 + 0,5·0,24) = 22 400 (руб.)
S =?	Ответ: 22 400 руб.

Обычно простая процентная ставка используется для случаев n<1 (краткосрочные кредиты).

Если срок пользования кредитом задается двумя календарными датами, день выдачи и день погашения, то формула приобретает вид:

(1.3)

где

∂ – срок кредита в днях (день выдачи и день погашения кредита считается за один день).

К – количество дней в году.

Пример 1.3. Кредит 20 000 руб. выдан 17 февраля 2000 г. под 30% годовых, начисляемых по простой процентной ставке. Найти возвращаемую сумму, если день погашения кредита 20 декабря 2000 г.

Решение по формуле (1.3) возможно с применением 3^х методик, каждая из которых дает различный результат.

1) «Германская методика».

В каждом месяце 30 дней, а в году 360 дней (30·12 = 360). Подсчет дней кредита производится по следующей схеме:

13 дней + март + апрель + май + июнь + июль + август + сентябрь +

+ октябрь + ноябрь + 20 дней = (13 + 9·30 + 20) дней =303 дня.

К = 360 дней.

Данная методика считает приближенное значение дней пользования кредитом, поэтому говорят о вычислении «обычных процентов» (Ordinary Interest). Применяется в Германии, Дании, Швеции.

2) «Английская методика».

Дни считаются точно по календарной или специальной таблице (см. приложение 1)

17 февраля – 48 день года

20 декабря – 355 день года (год високосный)

К = 366 дней (год високосный)

Подсчеты дней точные, поэтому говорят о вычислении точного процента (Exact Interest). Применяется в Англии, США, Португалии и др. странах.

3) «Французская методика»

Дни считаются как в английской методике, а количество дней в году по германской, т.е. К = 360 дней.

Применяется во Франции, Швейцарии, Испании, Югославии и др. странах.

Так как разные методики дают различные результаты, то при заключении сделок необходимо оговаривать, по какой методике производится расчет. Очевидно, что самая выгодная для кредитора – "Французская методика".

1.2. Простая учетная ставка.

Используется в том случае, когда за базу начисления процентов берется наращенная сумма (S). Обозначается буквой d, широко применяется в финансовых расчетах, например, при оформлении векселей.

Вексель – письменное долговое обязательство строго установленной формы, выдаваемое заемщиком (векселедателем) кредитору (векселедержателю) и предоставляющее последнему бесспорное право требовать с заемщика уплаты к определенному сроку (день погашения векселя) определенной суммы денег, указанной в векселе (номинальной стоимости векселя).

Вексель имеет следующие особенности:

1) абстрактность, т.е. отсутствия каких – либо объяснений по поводу возникновения долга;

2) бесспорность, т.е. обязательность оплаты в точном соответствии с данным векселем;

3) обращаемость, т.е. вексель посредством передаточной надписи может обращаться среди неограниченного количества клиентов.

Вексель можно купить (продать) в любом финансовом учреждении до срока, указанного на нем, но по цене ниже номинальной. В таких случаях говорят, что вексель реализован с дисконтом.

Дисконт (Д) – это разница между номинальной стоимостью векселя (S) и суммой (Р), полученной владельцем векселя в финансовом учреждении при его учете.

Для одного года: S – P = D = S·d

Для n лет: S – P = S·n·d

Отсюда: P = S·(1 – n·d),

где

n – срок между днем погашения и днем учета в годах.

Более удобная формула выглядит следующим образом:

(1.4)

Пример 1.4 Владелец векселя номинальной стоимостью 20 000 руб. со сроком погашения 27 декабря 2000 г. собирается реализовать его в банке 20 октября 2000 года. Банк согласен учесть вексель с дисконтом 30%. Вычислить сумму, которую получит в банке владелец векселя.

Дано:	Решение:
S = 20 000 руб. 20 окт. (294) – день учета векселя 27 дек. (362) – день погашения векселя d = 30% = 0,30 K = 360 дней
P =? D =?	Ответ: Владелец векселя получит в банке 20 октября 2000 г. – 18 866,67 рублей; Банк получит от векселедателя 20 000 рублей 27 декабря 2000 г.; Дисконт 1133,33 рублей.

Пример 1.5 Магазин 14 сентября оптом получает от предпринимателя партию товара общей стоимостью 200 000 рублей на следующих условиях: 40% стоимости оплачивается сразу, а остальное после реализации товара 5 декабря того же года. На какую сумму должен магазин выписать вексель, чтобы предприниматель не потерпел убытков, если банк учитывает векселя по простой процентной ставке 30% годовых.

Предварительное решение: 14 сентября предприниматель получит от магазина – 0,4·200 000 руб. = 80 000 рублей, остальные 120 000 рублей – кредит под 30% годовых начисляемых по простой учетной ставке.

Дано:	Решение:
P = 120 000 руб. 14 сентября – 257 день года 5 декабря – 339 день года d = 0,30 K = 360 дней
P =?	Ответ: магазин 14 сентября платит предпринимателю 80000 рублей и выписывает вексель на сумму 128801,43 рубля. Предприниматель по векселю стоимостью 128801,43 рубля 14 сентября получает 120000 рублей, т.е. за партию предприниматель получает сразу 80000 рублей в магазине и 120000 рублей в банке. Банк получает 5 декабря дисконт 128801,43–120000 = 8801,43 руб.

Сложные проценты

Сложные проценты используется в финансово – кредитных операциях, где проценты не выплачиваются сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, называют капитализацией процентов.

Наращение по сложным процентам.

Пример 2.1. Банк начисляет на вклад 10000 рублей 20% годовых по ставке сложных процентов. Найти сумму на счете через 1 год, 2 года, 3 года, …, n лет.

Решение:

Через 1 год на счете будет денег на 20% больше: 10000·(1+0,20)=12000 (руб.);

через 2 года на счете будет 12000·(1+0,20) = 10000·(1+0,20)² = 14400 (руб.);

через 3 года на счете будет 14400·(1+0,20) = 10000·(1+0,20)³ = 17280 (руб.):

Отсюда формула для начисления ставки сложных процентов имеет вид:

S = P·(1 +i)ⁿ,

(2.1)

Где

S – сумма на счете (наращенная сумма);

P – первоначальная сумма;

n – срок пользования кредитом, в годах;

i – ставка сложных процентов.