Похідна функція, що задана параметрично

Нехай Виключити параметри t, то функція виражається явно.

похідна функція, яка задана параметрично, визначається так:

 

Приклад: = 3t²;

 

Приклад: Знайти похідну функції

Щоб знайти похідну від неявної функції F (x, y) = 0, досить взяти похідну від кожної частини рівняння і визначити звідти розглядаючи у як функцію від х, наприклад.

х² + у² = R²; 2x + 2y ∙y^’ = 0; y^’ = -

Нехай маємо функцію у = а^х, а > 0, а ≠ 1. Покажемо, що y^’ = а ^’ lna.

Про логарифмуємо функцію і візьмемо похідну з обох частин.

ln y = ln a^х, =

 

Практична робота по темі:

Загальна схема дослідження функції

Мета: студенти повинні навчитись використовувати похідну для дослідження деяких функцій.

Студенти повинні знати: означення похідної, необхідні та достатні умови існування диференційованості.

Студенти повинні вміти: виконувати дослідження функції за допомогою похідної

Література: Л – 1, стор. 246 –266., Л – 2, стор. 98 – 105

Л – 6, стор. 286 - 316, Л – 10, стор. 84 – 96,

 

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) За якою схемою досліджують функцію?

b) Які існують умови зростання і спадання функції?

c) Як знаходять точки екстремуму?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Загальна схема дослідження функції. Побудова графіків

Дослідження та побудова графіка функції рекомендується проводити за схемою:

1) знайти область існування функції D (f);

2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву, якщо вони існують, і знайти односторонні границі в точках розриву;

3) з’ясувати, чи функція парна чи непарна, чи ні та, ні та;

4) знайти точки екстремуму функції і записати інтервали зростання і спадання функції;

5) знайти точки перетину графіка функції і визначити інтервали випуклості та вгнутості графіка;

6) знайти асимптоти графіка функції, якщо вони існують;

7) побудувати графік функції, використовуючи отримані результати, за необхідності можна додатково знаходити точки графіка, надаючи аргументу х ряд значень, та отримати відповідні значення у.

 

Практична робота по темі:

Визначення похідних функції багатьох змінних

Практична робота по темі:

Методи інтегрування.

Мета: студенти повинні навчитись знаходити інтеграли.

Студенти повинні знати: означення інтегралів, первісної, невизначених інтегралів.

Студенти повинні вміти: користуватися таблицею інтегралів, обчислювати табличні інтеграли, інтеграли за допомогою методу підстановки

Література: Л – 1, стор. 330 – 336., Л – 6, стор. 326

Л – 10, стор.119 – 124, Л – 2, стор. 134– 141.

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Що називають інтегралом?

b) Сформулювати теорему про існування первісної.

c) Які основні властивості невизначеного інтегралу?

1. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Заміна змінної (метод підстановки) в невизначеному інтегралі

Нехай потрібно знайти інтеграл , причому безпосереньо підібрати первісну для неможливо, хоч знаємо що вона існує. Зробимо заміну (деякий вираз приймаємо за t а решта за d(t)) тобто x = φ(t), де – неперервна функція з неперервною похідно, яка має обернену.

Тоді dx = φ’(f) dt. Маємо рівність

Заміну х = вибирають так, щоб можна було обчислити невизначений інтеграл який є в правій частині рівності

 

Приклад 1. Знайти інтеграл

 

Розв’язання. Зробимо заміну t = sinx, тоді dt = cos dx.

Маємо

 

Приклад 2. Знайти інтеграл

 

Розв’язання. Нехай t = 1 + x², тоді dt = 2xdx.

Маємо

 

Інтегрування по частинах

Нехай u і v - дві диференційовані функції від х. Тоді диференціал добутку рівний d(uv) = udv vdu.

Інтегруючи цю рівність, отримуємо

або

Приклад. Знайти інтеграл

 

Розв’язання. Інтегруючи частинами, отримаємо

 

 

Приклад. Знайти інтеграл

 

Розв’язання. Інтегруючи частинами, отримаємо

Практична робота по темі:

Інтегрування раціональних функцій

Мета: студенти повинні навчитись виконувати інтегрування раціональних функцій

Студенти повинні знати: означення інтегралів, первісної, невизначених інтегралів.

Студенти повинні вміти: користуватися таблицею інтегралів, обчислювати табличні інтеграли, інтегрувати функції, які містять раціональні функції.

Література: Л – 1, стор. 352 –355., Л – 2, стор. 142 – 147

Л – 6, стор. 330 - 333, Л – 10, стор. 131– 135.

 

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Яку дію називають інтегруванням?

b) Як розкласти правильний дріб на доданки?

c) Яка схема інтегрування раціональних функцій?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

1) 2)

3) 4)

 

1. В інтегралі

2. Інтеграл виду

Отже

 

3. Інтеграл виду виділенням повного квадрату підкореневого виразу зводиться до видів: при а >0, або при а < 0, які розглядались як табличні («довгий» логарифм, або арксинус).

4. Інтеграл виду зводиться до суми двох

Перший інтеграл типу а другий є не що інше як

(не враховуючи сталих коефіцієнтів що є перед інтегралами)

Приклад. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Враховуючи, що

 

Послідовно дістаємо:

Приклад. Знайти інтеграл

Розв’язання. Простими перетвореннями зробимо в чисельнику похідну знаменника і розіб’ємо інтеграл на суму двох інтегралів.

Практична робота по темі:

Застосування інтегралів.

Мета: студенти повинні навчитись обчислювати визначені інтеграли.

Студенти повинні знати: таблицю інтегралів та методи інтегрування, формулу Ньютона-Лейбниця.

Студенти повинні вміти: використовувати визначний інтеграл для розв’язування різноманітних задач.

Література: Л – 1, стор. 362 – 411, Л – 6, стор. 355 – 410.

Л – 10, стор.140 – 166, Л – 2, стор. 161– 175.

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Дайте означення визначеного інтеграла?

b) Перерахуйте основні властивості визначеного інтеграла.

c) В чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу?

1. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Якщо на відрізку функція , то як відомо, площа криволінійної трапеції обмеженою кривою , віссю та прямими , рівна .

Якщо ж на , то визначений інтеграл . За абсолютною величиною він рівний площі відповідної криволінійної трапеції

Якщо потрібно обчислити площу, обмежену кривими і прямими , за умови, що , то досить обчислити інтеграл

.

Приклад 1. Знайти площу, обмежену кривими .

Розв’язання. Знаходимо точки перетину кривих прирівнюючи функції

Отже враховуючи (7), маємо

Приклад 2. Знайти об’єм тіла обертання, утвореного обертанням еліпса навколо осі.OX

Розв’язання.Шуканий об’єм рівний . Знайдемо з рівняння еліпса .

Враховуючи (7) об’єм тіла обертання рівний

Приклад 3. Знайти довжину кардіоїди .

Розв’язання. Спочатку побудуємо кардіоїду, надаючи

значення кута .

Знайдемо . Змінюючи від 0 до , отримаємо половину шуканої довжини Отже, маємо

Практична робота по темі:

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Мета: студенти повинні навчитись обчислювати диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Студенти повинні знати: означення диференційних рівнянь, методи розв’язання таких рівнянь, таблицю інтегралів..

Студенти повинні вміти: розв’язувати рівняння І – го порядку, диференціальні рівняння з відокремленими змінними, однорідні диференційні рівняння.

Література: Л – 1, стор. 421 - 3455 Л – 6, стор. 426 -435,

Л – 10, стор.174 -177, Л – 2, стор. 181 – 190.

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Які рівняння називають диференційними?

b) Які види розв’язків має диф.рівняння?

c) Як розв’язуються диференціальні рівняння з відокремленими змінними?

1. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Рівняння з відокремленими змінними

Якщо диференціальне рівняння першого порядку може бути представлене P (x) dx = Q (y) dy

де P (x) і Q (y) – функції лише однієї змінної.

Про інтегрувавши обидві частини, отримуємо загальний розв’язок (загальний інтеграл)

Однорідні диференціальні рівняння

Однорідним рівнянням називають рівняння у ^’= f(x,y) права частина якого f(x,y) є однорідною функцією нульового виміру відносно х та у. яка задовольняє умову f(tx, ty) = t^k f(x,y), де k – вимір або степінь однорідності.

Якщо k = 0, маємо функцію нульового виміру. Однорідну функцію нульового виміру завжди можна представити як функцію відношення змінних або ^. (Це рівноцінно тому, що або ).

При його інтегруванні вводиться нова змінна або , що веде до рівняння з відокремленими змінними.

Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння (е^х + 2) у^’ = уе^х;

Розв’язання. Враховуючи, що у^' = , можна відокремити змінні в рівнянні

(е^х + 2) = уе^х;

Інтегруючи обидві частини, матимемо

звідси, у = с(е^х +2) – загальним розв’язок заданого ДР.

 

Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння (1+у²)dх-хуdу=0

Розведемо змінні в рівнянні (1+у²)dх = хуdу

 

проінтегруємо кожну частину

 

 

 

Приклад. Розв’язати рівняння ху = х + у.

 

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на х, маємо . Перевіримо функцію на однорідність f(x,y) = ; f(tx, ty) =1 отже права частина рівняння однорідна функція нульового виміру. Введемо нову змінну , тоді у = ux; . Підставляючи це у вихідне рівняння, отримаємо

.

Отже . Тоді загальний розв’язок рівний .

 

Практична робота по темі:

Диференціальні рівняння вищих порядків

 

Практична робота по темі:

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами