Методы расчета электрических цепей

Широкое распространение в практике инженерных расчетов получили следующие методы:

−непосредственного применения законов Кирхгофа;

−контурных токов;

−эквивалентного преобразования;

−наложения;

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа является классическим приемом, используемым для анализа цепей любой сложности.

Первый закон Кирхгофа относится к узлу и гласит:

«Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна нулю»:

i-номер тока;

k-количество токов, сходящихся в узле.

Обычно, токи подходящие к узлу считают положительными.

Второй закон Кирхгофа относится к контуру и гласит:

«Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре»:

i- номер ветви контура;

n-число ветвей в контуре.

ЭДС и токи, направления которых совпадают с направлением обхода контуров, считают положительными.

Для заданной электрической цепи составляется система линейных алгебраических уравнений первого порядка относительно неизвестных токов. По первому закону составляются уравнения для всех узлов, кроме одного. По второму закону для всех независимых контуров. Контур называется независимым, если он содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий другим контурам. Общее число уравнений равно числу неизвестных токов.

Метод контурных токов наиболее распространенный способ анализа сложных электрических цепей. В его основе лежит второй закон Кирхгофа. Метод предполагает, что в каждом независимом контуре протекает собственный контурный ток, а ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, замыкающихся через эту ветвь.

Метод эквивалентного преобразования используется для анализа цепей с одним источником энергии. Сущность его в том, что сложные участки цепи постепенно преобразуются в более простые по структуре, при этом токи и напряжения в непреобразованных частях цепи остаются неизменными. В конце преобразования цепь «свертывается» до простейшего вида.

Эквивалентное сопротивление ветви последовательно соединенных резисторов равно сумме сопротивлений всех резисторов ветви:

R_э=R₁+R₂+R₃+∙∙∙+R_n.

Эквивалентное сопротивление параллельно включенных резистивных ветвей вычисляется по формуле:

Ветви называются параллельными, если они подключены к одной паре узлов.

Метод наложения базируется на принципе суперпозиции применимом к линейным физическим системам. Применительно к электрическим цепям закон гласит:

«Токи в ветвях цепи, содержащей несколько источников энергии, равны алгебраической сумме токов, образованных каждым источником в отдельности».

В соответствии с этим принципом, расчет сводится к нескольким вариантам (по числу источников) расчета цепи, в которой оставляется только один источник.

Проверка достоверности значений токов и их направлений при расчете любым методом осуществляется путем составления баланса мощностей.

Алгебраическая сумма мощностей источников равна сумме мощностей рассеиваемых в приемниках:

i−номер ветви цепи;

n−количество ветвей.

Произведение E_i∙I_i берется со знаком «+», если ток и ЭДС в данной ветви имеют одинаковое направление.

Иногда для одного из контуров цепи строится график распределения потенциала вдоль контура, называемый потенциальной диаграммой. Детально методы расчета сложных цепей и построения диаграмм изложены в литературе [1,2,3].

Рабочее задание

Экспериментальная часть

1. Подайте напряжение на стенд, для чего включите автомат АП, расположенный на панели источников питания стенда, при этом должна загореться сигнальная лампа.

2. Подготовьте мультиметр В7-22А для измерения напряжения, для чего:

− нажмите клавишу –V;

− нажмите клавишу 20;

− черный штекер измерительного кабеля вставьте в гнездо, помеченное символом «*»;

− красный штекер измерительного кабеля вставьте в гнездо, помеченное символом 0-1000 V−;

− вставьте вилку шнура питания в клеммный разъем ~220 В, расположенный в нижней части панели источников питания стенда;

− включите тумблер «СЕТЬ», расположенный на лицевой панели мультиметра В7-22А.

Предел допускаемой основной погрешности мультиметра при измерении напряжения 0,15-0,20%.

3. В таблицу 1.1 занесите технические данные мультиметра В7-22А, форма таблицы приведена на странице 3.

4. Подготовьте к работе панель-схему, представленную на рис 1.1., для чего:

Рис. 1.1. Панель-схема исследуемой цепи

− проверьте надежность контактов в перемычках П1-П5;

− тумблерами S1 и S2 отключите приемники от источников Е₀₁ и Е₀₂ (верхнее положение);

− подайте напряжение на панель-схему, замкнув тумблер 220 В в окне «НА РАЗЪЕМ», при этом должна загореться сигнальная лампа.

5. Свободные штекеры измерительного кабеля мультиметра подключите к гнездам источника Е_01. и измерьте его ЭДС.

6. Измеренное значение ЭДС занесите в таблицу 1.3.

Таблица 1.3

Значения ЭДС, напряжений и токов при работе источника Е₀₁

Е₀₁, В	U₀₁, В	U_R₁, В	U_R₂, В	U_R₃, В	U_R₄, В	U_R₅, В	I₁, мА	I₂, мА	I₃, мА	I₄, мА	I₅, мА

7. Тумблером S1 подключите приемники к источнику Е₀₁.

8. Измеренное значение напряжения U₀₁ занесите в таблицу 1.3.

9. Отключите штекеры измерительного кабеля мультиметра от гнезд источника Е₀₁.

10. Для измерения напряжений на резисторах поочередно подключайте штекеры измерительного кабеля мультиметра к гнездам резисторов R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, показания прибора заносите в таблицу 1.3.

11. Тумблером S1 отключите приемники от источника Е₀₁.

12. Штекеры измерительного кабеля мультиметра подключите к гнездам источника Е₀₂, измеренное значение ЭДС занесите в таблицу 1.4.

Таблица 1.4

Значения ЭДС, напряжений и токов при работе источника Е₀₂.

E₀₂, В	U₀₂, В	U_R1, В	U_R2, В	U_R3, В	U_R4, В	U_R5, В	I₁, мА	I₂, мА	I₃, мА	I₄, мА	I₅, мА

13. Тумблером S2 подключите приемники к источнику Е₀₂, измеренное значение напряжения U₀₂ занесите в таблицу 1.4.

14. Отключите штекеры измерительного кабеля мультиметра от гнезд источника Е₀₂.

15. Для измерения напряжений на резисторах поочередно подключайте штекеры измерительного кабеля мультиметра к гнездам резисторов R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, показания прибора заносите в таблицу 1.4.

16. Тумблерами S1 и S2 подключите оба источника к приемникам.

17. Для измерения напряжений на элементах цепи поочередно подключайте штекеры измерительного кабеля мультиметра к гнездам источников и резисторов, показания прибора заносите в таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Значения напряжений и токов при работе источников Е₀₁ и Е₀₂.

U₀₁, В	U₀₂, В	U_R1, В	U_R2, В	U_R3, В	U_R4, В	U_R5, В	I₁, мА	I₂, мА	I₃, мА	I₄, мА	I₅, мА

18. Отключите штекеры измерительного кабеля мультиметра от панель-схемы.

19. Для контура, указанного преподавателем, измерьте потенциалы точек, в которых соединяются два элемента контура, относительно заземленной точки контура. Для этого черный штекер измерительного кабеля подключите к заземленной точке, а красный поочередно подключайте к остальным точкам контура. Результаты измерения фиксируйте с учетом знака.

20. Подготовьте мультиметр для измерения тока, для чего:

−нажмите клавишу mA;

−нажмите клавишу 200;

−красный штекер измерительного кабеля переключите в гнездо, помеченное символом «I,R».

Предел допускаемой основной погрешности мультиметра при измерении тока 0,25-0,30%.

21. В таблицу 1.1 занесите технические данные мультиметра В7-22А.

Подключение мультиметра в режиме измерения тока проводите при снятом напряжении с панель-схемы. Тумблер «220 В» отключен.

22. Подключите мультиметр вместо перемычки П1.

23. Тумблером S1 включите источник Е₀₁, источник Е₀₂ выключите.

24. Подайте напряжение на панель-схему тумблером «220» В.

25. В таблицу 1.3 занесите величину и направление тока I₁.

Если перед значением тока на шкале прибора высвечивается «+», то ток течет от красного штекера к черному; если высвечивается «−», ток течет от черного штекера к красному.

26. Тумблером S1 отключите источник Е₀₁, тумблером S2 подключите источник Е₀₂.

27. В таблицу 1.4 занесите величину и направление тока I₁.

28. Тумблером S1 подключите источник Е₀₁.

29. В таблицу 1.5 занесите величину и направление тока I₁.

30. Отключите штекеры измерительного кабеля от панель-схемы. Тумблером «220 В» снимите напряжение с панель-схемы.

31. Установите перемычку П1 в исходное состояние.

32. Поочередно подключая мультиметр вместо перемычек П2, П3, П4, П5, а тумблерами S1 и S2 источники Е₀₁, Е₀₂, измерьте токи во всех ветвях и занесите их значения и направления в таблицы 1.3, 1.4 и 1.5.

Расчетная часть

1. По данным таблиц 1.3 и 1.4 по второму закону Кирхгофа рассчитайте внутренние сопротивления источников энергии R₀₁ и R₀₂.

2. По данным таблиц 1.3, 1.4 и 1.5 по закону Ома рассчитайте значения сопротивлений R₁, R₂, R₃, R₄, R₅ и найдите среднее значение сопротивления каждого резистора.

3. По данным таблиц 1.2 и 1.3 найдите эквивалентное сопротивление цепи при работе источника Е₀₁ и при работе источника Е₀₂.

4. Для трех исследованных схем проверьте соответствие распределения токов в ветвях первому закону Кирхгофа.

5. Используя данные таблицы 1.5, проверьте соответствие распределения напряжений на элементах контуров второму закону Кирхгофа.

6. Используя данные таблиц 1.3 и 1.4, методом наложения найдите токи во всех ветвях цепи. Полученные значения сравните с данными таблицы 1.5.

7. По расчетным значениям параметров источников энергии и сопротивлений резисторов, найдите токи во всех ветвях цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

8. Постройте график распределения потенциала для контура, исследованного в пункте 19.

R₁

R₀₁

R₂

R₀₂

R₅

R₃

R₄

E₀₁

E₀₂

Рис. 1.2. Схема замещения исследуемой электрической цепи

Выводы

1. Сделайте вывод о влиянии количества источников энергии и места их включения на величину сопротивления ветвей цепи.

2. Сделайте вывод о влиянии места включения источника энергии на величину эквивалентного сопротивления цепи.

3. Сделайте вывод о соответствии или несоответствии распределения токов в ветвях первому закону Кирхгофа.

4. Сделайте вывод о соответствии или несоответствии распределения напряжений в элементах контуров второму закону Кирхгофа.

5. Сравните величины токов в ветвях цепи, вычисленных методом наложения, с экспериментальными значениями.

6. Сравните величины токов в ветвях цепи, вычисленных методом непосредственного применения законов Кирхгофа, с экспериментальными значениями.

Контрольные вопросы

1. Что такое электрическая цепь?

2. Что такое ветвь?

3. Что такое узел?

4. Что такое контур?

5. Какой контур называется независимым?

6. Сформулируйте первый закон Кирхгофа.

7. Сформулируйте второй закон Кирхгофа.

8. Сформулируйте принцип суперпозиции применительно к электрической цепи.

9. Какие ветви цепи называются параллельными?

10. Какие ЭДС берутся со знаком «+» при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа?

11. Какие токи берутся со знаком «−» при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа?

12. Сколько уравнений необходимо составить для расчета цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа?

13. Сколько уравнений необходимо составить для расчета цепи методом контурных токов?

14. Как рассчитать эквивалентное сопротивление трех параллельно включенных резисторов?

15. Какой элемент цепи называется идеальным?

16. Как рассчитать эквивалентное сопротивление трех последовательно включенных резисторов?

17. Запишите уравнение обобщенного закона Ома.

18. Какой элемент цепи называется пассивным?

19. Как определить истинные токи в ветвях цепи по известным контурным токам?

20. Запишите уравнение закона Ома для пассивного участка цепи.

21. Сколько уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо составить при расчете цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа?

22. Сколько уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо составить при расчете цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа?

23. Какой физический процесс происходит в резистивном приемнике электрической энергии?

24. В каком случае при составлении баланса мощностей произведение E_i∙I_i берется со знаком «−»?

25. Что такое баланс мощностей?

Лабораторная работа 2