Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона

Результаты измерений.

Таблица1

38,86	38,58	38,83	38,72	38,72	38,75	38,68	38,71	38,76	38,91
38,80	38,83	38,71	38,89	38,80	38,69	38,81	38,82	38,86	38,74
38,85	38,84	38,75	38,80	38,83	38,98	38,76	38,85	38,73	38,94
38,77	38,98	38,76	38,72	38,78	38,66	38,64	38,76	38,75	38,84
38,80	38,67	38,87	38,75	38,85	38,81	38,76	38,58	38,84	38,88
38,80	38,87	38,85	38,87	38,77	38,93	38,75	38,75	38,77	38,86
38,86	38,76	38,72	38,81	38,80	38,85	38,75	38,89	38,79	38,92
38,66	38,85	38,80	38,65	38,93	38,82	38,84	38,75	38,70	38,74
38,64	38,79	38,71	38,92	38,72	38,87	38,67	38,86	38,94	38,98
38,80	38,83	38,67	38,83	38,80	38,93	38,83	38,88	38,88	38,92

Результаты измерений в порядке возрастания.

Таблица 2

38,58	38,58	38,64	38,64	38,65	38,66	38,66	38,67	38,67	38,67
38,68	38,69	38,7	38,71	38,71	38,71	38,72	38,72	38,72	38,72
38,72	38,73	38,74	38,74	38,75	38,75	38,75	38,75	38,75	38,75
38,75	38,75	38,76	38,76	38,76	38,76	38,76	38,76	38,77	38,77
38,77	38,78	38,79	38,79	38,8	38,8	38,8	38,8	38,8	38,8
38,8	38,8	38,8	38,81	38,81	38,81	38,82	38,82	38,83	38,83
38,83	38,83	38,83	38,83	38,84	38,84	38,84	38,84	38,85	38,85
38,85	38,85	38,85	38,85	38,86	38,86	38,86	38,86	38,86	38,87
38,87	38,87	38,87	38,88	38,88	38,88	38,89	38,89	38,91	38,92
38,92	38,92	38,93	38,93	38,93	38,94	38,94	38,98	38,98	38,98

 

n=100;

S=3879,85.

Определяем среднее арифметическое и стандартное отклонения для данных таблицы 1.

- среднее арифметическое;

;

- стандартное отклонение;

=0,086531.

2. С помощью правила «трех сигм» проверяем наличие или отсутствие грубых промахов.

U = 38,98 - максимальное значение многократных измерений (таблица 2);

U = 38,58 - минимальное значение многократных измерений (таблица 2);

> U =38,98;

< U =38,58.

Таким образом, ни один из результата не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,9973 гипотеза об отсутствии грубых погрешностей принимается.

Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности

Для того, чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений расположить в так называемый вариационный ряд по возрастанию их численных значений (таблица 3).

 

Таблица 3

U	38,58	38,64	38,65	38,66	38,67	38,68	38,69	38,7	38,71	38,72
m
U	38,73	38,74	38,75	38,76	38,77	38,78	38,79	38,8	38,81	38,82
m
U	38,83	38,84	38,85	38,86	38,87	38,88	38,89	38,91	38,92	38,93
m
U	38.94	38.98
m

 

Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов . При выборе интервалов следует придерживаться следующих рекомендаций (таблица 4):

Таблица 4

Число измерений «n»	Число интервалов «k»
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	10-16
1000-10000	12-22

 

Тогда:

= ;

n=100,

k=8.

Полученное значение округляется до возможно меньшего числа значащих цифр для удобства последующих действий.

= ;

Начало первого интервала выбираем таким образом, чтобы это значение оказалось меньше, чем минимальный результат вариационного ряда. Последний интервал должен покрывать максимальное значение ряда.

Выберем для нашего вариационного ряда первый интервал в точке 38.55, тогда последний интервал окажется в точке 39. Занесем данные в таблицу 5.

Затем для каждого интервала подсчитывается количество m , попавших в данный интервал и определяем по формуле:

;

Если в интервал попадает меньше 5 наблюдений, то такие интервалы объединяются с соседними. Результаты производимых вычислений заносим в таблицу 5, а затем строим гистограмму.

Из вида гистограммы на рисунке 1 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы.

 

Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона

Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа:

;

В нашем случае значения и соответствуют началу и концу интервала. Для каждого из этих значений рассчитаем относительный доверительный интервал :

;

Из таблицы функции Лапласа, приведеной в приложении 1 методических указаний, найдем соответствующее значения этой функции и :

- ;

Рассчитаем значение критерия для каждого интервала по формуле:

;

Найдем суммарное значение =1.252395884.

Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностью 0,95 и вычислив по формуле:

r = k -3 - число степеней свободы;

r = 7 - 3 = 4.

=9.488 (приложение 2 из методических указаний);

> .

Таким образом, с вероятностью 0,95 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения принимается.

 

Рисунок 1

 

В тех же координатах, что и гистограмма, следует построить теоретическую кривую плотности вероятности. Для этого рассчитываем значения плотности вероятности для середины каждого интервала по формуле:

;

;

;

;

;

Полученные точки соединяем плавной кривой, симметричной относительно математического ожидания (рисунок 1).

 

Таблица 5

i	Интервалы
	38.55	38.60		0.5	-2.87	-1.72	-0.4979	-0.4573	0.0406	0.21763546798
	38.60	38.65
	38.65	38.70		1.6	-1.72	-1.14	-0.4573	-0.3729	0.0844	0.2293838862
	38.70	38.75		3.8	-1.14	-0.56	-0.3729	-0.2123	0.1606	0.53820672478
	38.75	38.80		4.2	-0.56	0.02	-0.2123	0.0080	0.2203	0.04815705855
	38.80	38.85		4.2	0.02	0.60	0.0080	0.2257	0.2177	0.02723472668
	38.85	38.90		2.8	0.60	1.17	0.2257	0.3790	0.1533	0.11538812785
	38.90	38.95		2.4	1.17	2.33	0.3790	0.4898	0.1108	0.07638989169
	38.95