Алгоритм построения полинома Жегалкина

1. Построить таблицу истинности данной булевой функции.

2. Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать конъюнкция , где - соответствующий набор значений перемен-ных. Конъюнкции соединяются знаком .

3. Заменить выражения по формуле: . Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые по правилу: .

Пример. Построить СДНФ, СКНФ и полином Жегалкина для функции (11110011).

Таблица истинности данной булевой функции приведена на стр. 5.

СДНФ имеет вид:

.

СКНФ имеет вид:

.

Построим полином Жегалкина:

Примечание. Обратите внимание, что в [3] в представлении СДНФ и СКНФ в обозначении дизъюнкции вместо символа используется символ .

 

Замкнутые классы функций.

1. Класс функций, сохраняющих ноль.

.

2. Класс функций, сохраняющих единицу.

.

3. Класс S самодвойственных функций составляют функции, на противоположных наборах принимающие противоположные значения:

.

4. Класс М монотонных функций. Для двоичных векторов и , где , , вводится следующее отношение частичного порядка. Считается, что , если для . Класс M определяется следующим образом:

.

5. Класс линейных функций L составляют функции, которые представляются полиномом Жегалкина первой степени.

Проверка принадлежности булевой функции замкнутым классам 1-4 осуществляется по таблице истинности. Проверка принадлежности булевой функции классу L осуществляется путем построения полинома Жегалкина. Здесь – мно-жество всех булевых функций n переменных.

 

Функциональная полнота.

Система булевых функций называется функционально полной, если любая булева функция представляется супер-позицией (сложной функцией) функций данной системы.

Теорема Поста. Система булевых функций функ-ционально полна, если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов.

Для проверки функциональной полноты системы буле-вых функций строится так называемая таблица Поста, в которой отмечается принадлежность функций замкнутым классам. Если в каждом столбце таблицы Поста есть хотя бы один минус, система полна, в противном случае – нет.

Пример. Проверить функциональную полноту системы булевых функций .

Проверим принадлежность замкнутым классам функции . Построим таблицу истинности данной функции.

, следовательно .

, следовательно .

, следовательно, .

, следовательно, .

Функция представляет собой полином Жегалкина первой степени, следовательно, .

Результаты можно занести в первую строку таблицы Поста. Остальные функции исследуются аналогично.

Построим таблицу Поста:

			S	M	L
	+	-	-	-	+
	+	+	-	+	-
	-	+	-	+	+

В каждом столбце таблицы имеется минус, следовательно, система A функционально полна.

Минимальная функционально полная система называется базисом пространства булевых функций.

 

Элементы комбинаторики.

Основные задачи теории выборок. Формула включения и исклю-чения. Задача о беспорядках. Рекуррентные соотношения.

Литература: [1], с. 53-70; [5], пп. 5.1, 5.3, 5.5.