Представление числовой информации в ВМ

Лекция 2.

Информационно-логические основы построения вычислительных машин. Представление информации в ВМ.

Информационно-логические основы построения вычислительных машин охватывают круг вопросов, связанных с формами и системами представления информации в компьютерах, а также с логико-математическим синтезом вычислительных схем и схемотехникой электронных компонентов компьютера. Так как последние вопросы представляют интерес только для специалистов технического профиля, в данном разделе рассмотрены только базовые понятия логического синтеза.

Представление числовой информации в ВМ.

 

Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:

(1)

где – i-я цифра числа; k – количество цифр в дробной части числа; m - количество цифр в целой части числа; N – основание системы счисления.

Основание системы счисления N показывает, во сколько раз “вес” i-го разряда больше (i-1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).

Пример 2.1. А₁₀=37,25.

В соответствии с формулой (1) это число формируется из цифр с весами рядов:

А ₁₀=3*10¹+7*10⁰+2*10^-1+5*10^-2.

Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система с основанием е =2,71828..., находящимся между числами 2 и 3.

Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:

- более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;

- более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);

- экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ.

При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (0 и 1). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:

• двоичная- {0,1};

• десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,...,9};

• шестнадцатеричная - {0,1,2,...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10, В-число 11,..., F-число 15;

• восьмеричная (от слова восьмерик) - {0,1,2,3,4,5,6,7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 2⁴ и 8 = 2³. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.

Пример 2.2. Число в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеет следующее представление:

А₂=1100100,11; (A₂=1*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2)

А₈=144.5; (A₈=1*8²+4*8¹+4*8⁰+5*8^-1;)

A₁₆=64.A; (A₁₆=6*16¹+4*16⁰+10*16^-1.)

 

Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы в другую. В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.

Перевод целых чисел

Целое число с основанием N₁ переводится в систему счисления с основанием N₂ путем последовательного деления числа N₁, на основание N₂, записанного в виде числа с основанием N₁, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основание N₂, и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием N₂.

Перевод дробных чисел

Дробное число с основанием N₁ переводится в систему счисления с основанием N₂ путем последовательного умножения N₁ на основание N₂, записанное в виде числа с основанием N₁. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего число N₁ в системе счисления N₂.

Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно выполнять другим более простым способом. Для перевода из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную достаточно двоичным кодом записать шестнадцатеричные коды цифр тетрадами (по 4 двоичных разряда) и триадами (по 3 двоичных разряда) - для восьмеричных цифр. Обратный перевод из двоичного кода производится в обратном порядке: двоичное число разбивается влево и вправо от границы целой и дробной частей на тетрады - для последующей записи цифр в шестнадцатеричном представлении, на триады - для записи их значений восьмеричными цифрами.