W 3− W 1 < один оборот

 

Если записать это полностью, мы получим

 

 

Рассмотрим конкретный случай, в котором размер области Δx будет много меньше расстояния x. Это значит, что мы исследуем условия, при которых частица совершит скачок значительно больший, чем диаметр ее исходной области. В этом случае условие, при котором циферблаты не отменяют друг друга, выводится непосредственно из предыдущего неравенства и выглядит как

 

 

Если вы немного знаете математику, то поймете, как это получается – с помощью перемножения членов в скобках и пренебрежения той частью, которая включает в себя (Δx) ². Это можно сделать, потому что по условиям Δx по сравнению с x – величина очень малая, а малая величина в квадрате – это очень малая величина.

Это уравнение заключает в себе условие, при котором циферблаты в точке Х не отменяют друг друга. Мы знаем, что если циферблаты не аннулируются взаимно в определенной точке, то существуют хорошие шансы обнаружить в этой точке частицу. Итак, мы выяснили, что если частица изначально расположена внутри области размером Δx, то через время t существуют хорошие шансы найти ее на значительном расстоянии x от поля, если неравенство выше будет выполнено. Более того, это расстояние увеличивается со временем, потому что в формуле мы на время t делим. Иными словами, чем больше времени проходит, тем выше вероятность нахождения частицы довольно далеко от ее исходного положения. Тут мы начинаем подозревать, что частица все‑таки двигается. Заметьте также, что шансы нахождения частицы вдалеке от исходной точки увеличиваются, если Δx уменьшается – то есть если неопределенность исходного положения частицы становится меньше. Иными словами, чем более точно мы улавливаем частицу, тем быстрее она удаляется от исходного положения. Теперь это уже очень напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Напоследок давайте немного переформулируем наше неравенство. Заметьте: чтобы частица проделала путь из любой точки исходной области до точки Х за время t, она должна пройти расстояние x. Если вы действительно зарегистрировали частицу в точке X, то, разумеется, пришли к выводу, что частица передвигалась со скоростью x / t. Кроме того, напомним, что масса, умноженная на скорость частицы, есть ее импульс, поэтому величина mx / t – это измеренный нами импульс частицы. Теперь можно продвинуться еще дальше и вновь упростить неравенство, записав

 

 

где p – импульс. Можно переформулировать уравнение так, что оно примет вид

 

 

pΔx < h,

 

и это действительно заслуживает дальнейшего обсуждения, потому что данное уравнение уже очень сильно напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Итак, наши математические расчеты пока окончены, и, если вы не очень пристально следили за ними, вам следует ухватить нить рассуждений с этого момента.

Если начать с частицы, находящейся внутри связной области размером Δx, то, как мы установили, с течением времени она может оказаться где угодно внутри более крупной области размером x.

Эта ситуация показана на рис. 4.5. Точнее говоря, это значит, что, если бы мы искали частицу в начальный момент, были бы шансы найти ее где‑то во внутренней области. Если бы мы не стали проводить измерения, а решили подождать, высоки были бы шансы найти ее где‑то во внешней, более крупной связной области. Это значит, что частица могла перейти из точки внутри малой начальной области в точку внутри более крупной. Однако она не обязана была двигаться, так что до сих пор есть вероятность нахождения ее в меньшей области Δx. Но вполне возможно, что измерения покажут, что частица дошла как раз до края большой области[14]. Если бы этот предельный случай был реализован при измерении, то мы заключили бы, что частица движется с импульсом, который задается только что выведенным нами уравнением (если вы не следовали за нашими математическими рассуждениями, просто примите это на веру), то есть p = h / Δx.

 

Рис. 4.5. Небольшая область со временем растет, в то время как изначально локализованная там частица с течением времени делокализуется

 

Теперь можем опять начать сначала и вернуть все в исходное положение. Частица опять окажется в малой области размера Δx. После измерения мы, вероятно, найдем частицу в какой‑то другой точке внутри более крупной области, до границы, и таким образом придем к выводу, что ее импульс меньше предельного значения.

Если мы представим, что вновь и вновь повторяем этот эксперимент, измеряя импульс частицы, которая первоначально находится внутри небольшой области размером Δx, мы обычно будем получать при измерении множество значений p где‑то между нулем и предельным значением h / Δx. Фраза «если проделать этот эксперимент несколько раз, то можно предсказать, что измеренный импульс окажется в пределах между нулем и h / Δx» значит, что «импульс частицы имеет неопределенность h / Δx». Как и в случае с неопределенностью положения, физики ввели для неопределенности этого рода символ Δp и пишут, что ΔpΔx ~ h. Значок ~ обозначает, что произведение неопределенностей положения и импульса примерно равно постоянной Планка – оно может быть или немного больше, или немного меньше. Немного углубившись в математику, можно сделать это уравнение еще более точным. Результат будет зависеть от подробностей расположения первоначальной группы циферблатов, но не стоит тратить на него слишком много сил и времени, потому что уже сделанного достаточно, чтобы понять основные идеи.

Утверждение, что неопределенность положения частицы, умноженная на неопределенность ее импульса (приблизительно), равна постоянной Планка – возможно, самая известная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга. Эта формулировка гласит: если мы знаем, что частица находится в какой‑то исходный момент времени в какой‑то области, то измерение положения частицы в какой‑то более поздний момент времени покажет, что частица движется с импульсом, значение которого нельзя предсказать точнее, чем «нечто между нулем и h / Δx». Иными словами, если мы будем все больше и больше сужать начальную область нахождения частицы, она будет стремиться отпрыгнуть от этой области все дальше. Это настолько важно, что заслуживает третьего варианта формулировки: чем точнее вы знаете положение частицы в какой‑то момент, тем хуже будете знать скорость ее движения и, соответственно, ту точку, в которой она окажется позже.

Эта формулировка принципа неопределенности как раз и принадлежит Гейзенбергу. Она лежит в основе квантовой теории, но тут мы должны четко заявить, что сам по себе принцип вовсе не является неопределенным. Это утверждение о нашей неспособности точного отслеживания частицы, и здесь не больше места для квантового волшебства, чем в ньютоновой физике. На последних нескольких страницах мы вывели принцип неопределенности Гейзенберга из фундаментальных правил квантовой физики, которые соответствуют правилам хода часов, сложения и вычитания циферблатов. И действительно, его происхождение кроется в нашем допущении, что частица через мгновение после измерения ее положения может оказаться в любом другом месте Вселенной. Диковатость нашего первого предположения, что частица может оказаться в совершенно произвольном месте Вселенной, была приручена с помощью неконтролируемой квантовой интерференции, и принцип неопределенности – это в каком‑то смысле все, что осталось от исходной анархии.

Прежде чем двинуться дальше, мы должны сказать еще нечто очень важное об интерпретации принципа неопределенности. Не следует впадать в заблуждение, думая, что частица находится в каком‑то конкретном единственном месте и что распространение исходных циферблатов отражает лишь ограниченность нашего понимания. Если мы считаем, что не можем правильно вывести принцип неопределенности, потому что не можем признать необходимость рассматривать все циферблаты из всех точек внутри исходной области, можно перемещать их по очереди в отдаленную точку Х и потом складывать. Именно делая это, мы и получили наш результат, то есть нам пришлось предположить, что частица прибывает в Х через суперпозицию многих возможных маршрутов.

Принципом Гейзенберга мы чуть позже воспользуемся для иллюстрации некоторых примеров из реального мира. Сейчас же достаточно и того, что нам удалось вывести один из ключевых результатов квантовой теории, не пользуясь ничем другим, кроме простых манипуляций с воображаемыми циферблатами.

Подставим в уравнения несколько цифр, чтобы добиться лучшего понимания предмета. Сколько нужно ждать возникновения существенной вероятности, что песчинка выпрыгнет из спичечного коробка? Предположим, что спичечный коробок имеет стенки длиной 3 см, а песчинка весит 1 мкг. Напомним, что условие для появления существенной вероятности перемещения песчинки на заданное расстояние определяется неравенством

 

 

где Δx – размер коробка. Теперь подсчитаем, каким должно быть время t, если мы хотим, чтобы песчинка покрыла расстояние x = 4 см, что уверенно превосходит размеры спичечного коробка. С помощью очень несложной алгебры находим, что

 

 

после чего подставляем числа и обнаруживаем, что t должно быть больше, чем примерно 1021 секунд. Это около 6 × 1013 лет, то есть в 1000 раз больше возраста Вселенной. Так что, вероятно, этого не случится. Квантовая механика – странная штука, но не настолько странная, чтобы песчинка сама по себе выпрыгивала из спичечного коробка.

Завершая эту главу и переходя к следующей, сделаем еще одно, последнее наблюдение. Наш вывод принципа неопределенности основывался на конфигурации часов, показанной на рис. 4.4. Если говорить точнее, то мы установили исходную группу часов так, чтобы все стрелки были одинаковой длины и показывали одно и то же время. Это соответствует частице, находящейся в начальном состоянии покоя в определенной области пространства, – как, например, песчинка в спичечной коробке. Хотя мы выяснили, что частица, скорее всего, не будет пребывать в покое, мы также обнаружили, что для больших объектов – а для квантового мира песчинка действительно очень велика – это движение совершенно незаметно. Таким образом, какое‑то движение в нашей теории есть, но это движение неощутимо для достаточно больших объектов. Похоже, мы упускаем из виду что‑то важное, потому что крупные предметы на самом‑то деле движутся, а квантовая теория, как мы помним, – это теория и малых, и больших объектов. Теперь мы должны обратиться к новой проблеме: как объяснить движение?

 

 

Движение как иллюзия

 

В предыдущей главе мы вывели принцип неопределенности Гейзенберга из размышлений над определенным исходным расположением циферблатов в небольшой области. Часы имели стрелки одинакового размера, указывавшие в одинаковом направлении. Мы выяснили, что это отображает частицу, которая находится в относительно стационарном состоянии, хотя квантовые законы предполагают, что она все же совершает некие перемещения. Сейчас мы зададим другую первоначальную конфигурацию, чтобы описать частицу в движении.

На рис. 5.1 новое сочетание циферблатов. Это по‑прежнему группа циферблатов, соответствующая частице, первоначально расположенной вблизи от них. Стрелка в положении 1 указывает на 12, как и ранее, но все остальные стрелки в поле повернуты и показывают другое время. На этот раз мы нарисовали пять часов просто потому, что так рассуждения будут более наглядными, хотя мы по‑прежнему должны представить циферблаты и между точками, где размещаются те, что мы нарисовали: по одному циферблату для каждой точки в области. Применим, как и ранее, правило квантовой теории и переместим эти циферблаты в точку Х, находящуюся далеко от исходной группы, чтобы вновь описать то множество траекторий, по которым частица может переместиться из этой группы в точку Х.

 

Рис. 5.1. Исходная группа (которую иллюстрируют циферблаты 1–5) состоит из часов, показывающих разное время – стрелки каждых последующих сдвинуты на три часа вперед по отношению к предыдущим. Нижняя часть рисунка демонстрирует, как отличается время на часах по всей группе

 

Повторим уже ставшую, надеемся, стандартной процедуру: возьмем циферблат из точки 1 и переместим в точку Х, поворачивая стрелку в процессе этого перемещения. Она повернется на величину

 

 

Теперь возьмем циферблат из точки 2 и переместим в точку Х. Расстояние будет немного больше – допустим, что больше на d, и потребуется чуть больше повернуть стрелку:

 

 

Именно это мы и делали в предыдущей главе, но, возможно, вы уже заметили, что для новой начальной конфигурации циферблатов результат будет не совсем тем же, что в прошлый раз. Новая установка стрелок отличается тем, что циферблат 2 изначально показывает время на три часа вперед по сравнению с циферблатом 1:3 часа, а не 12. Но при переносе циферблата 2 в точку Х мы должны повернуть стрелку назад чуть больше, чем на циферблате 1, в соответствии с тем дополнительным расстоянием d, которое он должен покрыть. Если построить исходную ситуацию так, что начальное опережение показаний циферблата 2 будет точно таким же, как дополнительный поворот стрелки в процессе движения в точку Х, то циферблат 2 прибудет в точку Х, показывая точно такое же время, как циферблат 1. Это будет означать, что произойдет не отмена, а суммирование циферблатов и создастся новый циферблат бо́льших размеров, что, в свою очередь, означает наличие высокой вероятности нахождения частицы в точке Х. Это совершенно не похоже на ту неконтролируемую квантовую интерференцию, случившуюся, когда все наши циферблаты показывали одинаковое время. Сейчас рассмотрим циферблат 3, который мы повернули на 6 часов вперед по сравнению с циферблатом 1. Этот циферблат должен пройти дополнительное расстояние 2 d до точки Х, и снова из‑за смещения стрелки этот циферблат в точке прибытия будет показывать 12 часов. Если задать все смещения стрелок подобным образом, то же самое будет происходить по всей группе, так что все циферблаты в точке Х будут суммироваться.

Это значит, что вероятность нахождения частицы в точке Х в какое‑то более позднее время будет достаточно высокой. Точка Х отличается от других, потому что именно в ней все циферблаты из исходной группы, словно сговорившись, покажут одно и то же время. Но точка Х – не единственная из имеющих особенный характер: все точки слева от Х на расстоянии, равном размеру исходной группы, обладают тем же свойством: циферблаты в них тоже складываются с положительным результатом. Чтобы увидеть это, заметьте, что можно взять циферблат 2 и переместить его в точку на расстоянии d слева от Х. Это будет соответствовать перемещению циферблата на расстояние x, а это то же самое расстояние, на которое мы переместили циферблат 1 по направлению к точке Х. После этого можно переместить циферблат 3 в эту новую точку на расстояние x + d, что будет тем же самым расстоянием, на которое мы до того переместили циферблат 2. Эти два циферблата, следовательно, тоже должны показывать одно и то же время в точке прибытия и суммироваться. Мы можем продолжать делать то же самое для всех циферблатов в исходной группе, но только до тех пор, пока расстояние слева от Х не станет равно размеру исходной группы. За пределами этой особой области циферблаты в основном будут отменять друг друга, потому что останутся без защиты от обычной неконтролируемой квантовой интерференции[15].

Истолкование этого эксперимента очевидно: группа циферблатов движется, как показывает рис. 5.2.

 

Рис. 5.2. Группа циферблатов с постоянной скоростью движется вправо. Это происходит потому, что в исходной группе стрелки циферблатов повернуты по отношению друг к другу так, как описано в тексте

 

Это удивительный результат. Задав начальную группу с помощью часов, показывающих разное, а не одинаковое время, мы пришли к описанию движущейся частицы. Интересно, что мы можем установить очень важную связь между часами со сдвинутыми стрелками и поведением волн.

Помните, что в главе 2 нам пришлось ввести идею циферблатов, чтобы объяснить волновое поведение частиц в двухщелевом эксперименте. Вернемся к рис. 3.3, где мы изобразили набор циферблатов, описывающий волну. Он напоминает набор циферблатов в нашей движущейся группе. Соответствующую волну мы изобразили под группой циферблатов на рис. 5.1, пользуясь совершенно теми же методами, что и ранее: 12 часов – пик волны, 6 часов – ее минимум, а 3 и 9 часов соответствуют нулевой высоте волны.

Как мы могли предвидеть, представление движущейся частицы, видимо, имеет что‑то общее с волной. У волны есть длина, соответствующая расстоянию между циферблатами с идентичными показаниями стрелок. Мы изобразили ее на рисунке, обозначив буквой λ.

Сейчас можно вычислить, насколько далеко точка Х должна располагаться от исходной группы, чтобы смежные циферблаты складывались с положительным значением. Это приводит нас к еще одному очень важному результату в квантовой механике и существенно проясняет связь между квантовыми частицами и волнами. Снова наступает момент, когда нам потребуется немного математики.

В первую очередь нужно вывести дополнительную величину, на которую повернута стрелка циферблата 2 по сравнению с циферблатом 1, поскольку дальше циферблат отправится в точку Х. С помощью результатов из начала главы находим, что

 

 

Вы можете сами произвести вычисления, раскрыв скобки и отбросив величину d ², поскольку d – расстояние между циферблатами, которое слишком мало по сравнению с x – расстоянием до точки Х, лежащей очень далеко от исходной области.

Довольно несложно записать критерий и для циферблатов, показывающих одно и то же время; нам нужно еще немного подвести стрелки, чтобы при продвижении циферблата 2 это исходное смещение показаний часов полностью компенсировало дополнительный поворот стрелки в ходе перемещения циферблата. Для примера, показанного на рис. 5.1, циферблат 2 дополнительно переводится на ¼, потому что мы должны будем повернуть стрелку на четверть часа вперед. Точно так же циферблат 3 подводится на ½, потому что мы должны будем повернуть стрелку вперед на полчаса. Символически выразить долю полного оборота в виде d / λ, где d – расстояние между циферблатами, а λ – длина волны.

Если вы этого пока не улавливаете, рассмотрите случай, при котором расстояние между двумя циферблатами будет равняться длине волны. Тогда d = λ, а, следовательно, d / λ = 1, что соответствует одному полному обороту, при этом оба циферблата покажут одинаковое время.

Подытожим: чтобы два соседних циферблата показывали в точке Х одинаковое время, требуется, чтобы дополнительный поворот часовой стрелки в начальном положении равнялся дополнительному повороту часовой стрелки при распространении волны на расстояние:

 

 

Как и выше, можем упростить это выражение, отметив, что mx / t – это импульс частицы, p. После небольших преобразований уравнения получим:

 

 

Полученный результат настолько важен, что заслуживает собственного имени. И действительно, эта формула называется уравнением де Бройля, поскольку впервые в сентябре 1923 года ее предложил французский физик Луи де Бройль. Важность формулы в том, что она связывает длину волны с известным импульсом частицы. Иными словами, так проявляется тесная связь между свойством, обычно присутствующим у частиц – импульсом, и свойством, чаще всего ассоциирующимся с волнами, – длиной волны. Таким образом, из наших манипуляций с часами возник корпускулярно‑волновой дуализм квантовой механики.

Уравнение де Бройля ознаменовало огромный концептуальный скачок. В своей оригинальной работе он писал, что «воображаемая связанная волна» должна приписываться всем частицам, в том числе электронам, и что поток электронов, проходя через щель, «должен демонстрировать феномен дифракции»[16]. В 1923 году это были еще теоретические рассуждения, потому что Дэвиссон и Джермер обнаружили появление интерференционной фигуры при испускании пучков электронов только в 1927‑м. Эйнштейн сделал примерно то же предположение, что и де Бройль, на других основаниях и приблизительно в это же время. Эти два теоретических результата стали катализатором для развития волновой механики Шрёдингера. В работе, вслед за которой Шрёдингер уже опубликовал уравнение своего имени, он писал: «Нам приходится серьезно отнестись к волновой теории де Бройля – Эйнштейна о движении частиц».

Мы можем подробнее разобраться с уравнением де Бройля и посмотреть, что произойдет, если уменьшить длину волны, что будет соответствовать большему смещению часовой стрелки соседних циферблатов. Иными словами, сократим расстояние между циферблатами, показывающими одно и то же время. Это значит, что нужно увеличить расстояние x, чтoбы компенсировать сокращение λ, – то есть для погашения дополнительной подкрутки стрелок точка Х должна оказаться дальше. Это соответствует более быстрому движению частицы: чем меньше длина волны, тем больше импульс, о чем и говорит уравнение де Бройля. Отличный результат: нам удалось «вывести» обычное движение (потому что со временем группа циферблатов движется равномерно), начав со статичного ряда циферблатов.

 

Волновые пакеты

 

Теперь вернемся к важному вопросу, который до того мы в этой главе пропустили. Мы сказали, что исходная группа целиком движется к окрестностям точки Х, но лишь примерно сохраняет свою исходную конфигурацию.

Что мы имеем в виду под этим довольно туманным утверждением? Ответ снова связан с принципом неопределенности Гейзенберга и приводит нас к следующему открытию. Мы описывали происходящее с группой циферблатов, которая служит отображением частицы, находящейся где‑то в малой области пространства. Эта область представлена на рис. 5.1 пятью циферблатами. Подобная группа называется волновым пакетом. Но мы уже видели, что локализация частицы в какой‑то области пространства имеет свои последствия. Мы не можем воспрепятствовать тому, что локализованная частица получит «удар Гейзенберга» (то есть импульс ее будет неизвестен как раз ввиду ее локализации), и со временем это приведет к тому, что частица «просочится» за пределы области своего исходного расположения.

Этот эффект имеет место в случае, когда все циферблаты показывают одинаковое время; присутствует он и в случае перемещения группы циферблатов. Это приведет к такому распространению волнового пакета по мере движения, которое соответствует стационарному движению одиночной частицы.

Если подождать достаточно долго, то волновой пакет, которому соответствует движущаяся группа часов, полностью распадется, и мы потеряем все шансы на предсказание точного положения частицы. Это, разумеется, будет иметь место при любых попытках измерения скорости нашей частицы. Посмотрим, как это работает.

Хороший способ измерить скорость частицы – провести два измерения ее положения в два разных момента времени. После этого мы можем вывести ее скорость, разделив пройденное ею расстояние на время между двумя измерениями. Учитывая то, что мы сказали, это кажется опасным, потому что, если мы слишком точно измерим положение частицы, можем сжать весь волновой пакет, что изменит его последующее движение. Если же мы не хотим, чтобы частица получила значительный «удар Гейзенберга» (то есть существенный импульс, потому что Δx становится слишком малым), то должны убедиться, что наши измерения положения будут достаточно расплывчатыми. Конечно, слово «расплывчатый» слишком расплывчато, так что давайте его как‑то определим. Если воспользоваться детектором частиц, способным определять частицы с точностью 1 мкм, а наш волновой пакет имеет ширину 1 нм, то детектор не окажет почти никакого воздействия на эту частицу. Экспериментатор, получающий данные с детектора, был бы счастлив иметь разрешение в 1 микрон, но с точки зрения электрона все, что может детектор, – это сообщить экспериментатору, что частица находится в некоем огромном ящике, который в тысячу раз больше, чем существующий волновой пакет. В этом случае «удар Гейзенберга», вызванный процессом измерений, будет очень мал по сравнению с тем, который порождается конечным размером самого волнового пакета. Вот что мы имеем в виду под словами «достаточно расплывчатый».

Мы рисовали эту ситуацию на рис. 5.3, обозначив исходную ширину волнового пакета d и разрешение нашего детектора Δ.

 

Рис. 5.3. Волновой пакет в два разных момента времени. Пакет двигается вправо и распространяется с течением времени. Пакет движется, потому что стрелки часов, которые его составляют, смещены относительно друг друга (де Бройль), и распространяется в соответствии с принципом неопределенности. Форма волнового пакета не так важна, но для полноты картины следует сказать, что если пакет большой, то циферблаты будут большими, а если пакет маленький, то небольшими будут и циферблаты

 

Мы изобразили также волновой пакет в более позднее время: он стал немного шире и имеет ширину d', которая больше, чем d. Максимум волнового пакета проходит расстояние L за временной интервал t со скоростью v. Приносим извинения, если эта формула навеяла вам давно забытые школьные дни, бездарно просиженные за исчерканной и покореженной деревянной партой, и голос учителя физики, теряющийся в полумраке зимнего дня и вгоняющий в совершенно неуместную дремоту. Мы покрываемся тут меловой пылью по серьезной причине и надеемся, что заключение этой главы вернет вас в сознание эффективнее, чем летающая тряпка для вытирания доски в детстве.

Снова оказавшись в нашей метафорической научной лаборатории, мы пытаемся измерить скорость v волнового пакета, выполнив два измерения его положения в два разных мгновения. Это даст нам расстояние L, которое волновой пакет покрыл за время t. Но разрешение нашего детектора равно Δ, так что мы не сможем точно вычислить L. В символической форме можно записать, что измеренная скорость равна

 

 

где знак плюс‑минус просто напоминает, что если мы проводим два измерения положения, то получаем обычно не L, а скорее «L плюс чуть‑чуть» или «L минус чуть‑чуть», где «чуть‑чуть» получается благодаря тому, что мы согласились не измерять положение частицы слишком точно. Важно принять во внимание, что L мы в действительности измерить не можем: мы всегда получаем значение где‑то в диапазоне L ± Δ. Помните также, что величина Δ должна быть гораздо больше, чем размер волнового пакета, иначе частица сожмется и разрушит его. Немного перепишем последнее уравнение, чтобы лучше понять, что происходит:

 

 

Оказывается, что, если величина t будет очень большой, мы выполним измерение скорости v = L / t с весьма незначительной погрешностью, потому что можем ждать очень долго, добиться, чтобы t было сколь угодно большим, а Δ / t, соответственно, сколь угодно малым, притом что величина Δ продолжит оставаться достаточно великой. Поэтому кажется, что мы нашли отличный способ все же совершить точные вычисления скорости этой частицы, не вмешиваясь в ее ход: достаточно лишь долго подождать между первым и вторым измерениями. С точки зрения интуиции все прекрасно и логично. Представьте, что вы замеряете скорость автомобиля, движущегося по шоссе. Если замерите расстояние, которое он проедет за одну минуту, то вы, конечно, получите значительно более точный показатель его скорости, чем если интервал между измерениями составит одну секунду. Итак, мы обманули Гейзенберга?

Конечно, нет: мы забыли кое‑что учесть. Частица описывается волновым пакетом, который рассеивается с течением времени. При наличии достаточного времени рассеяние окончательно размоет волновой пакет, так что частица может оказаться где угодно. Это увеличит диапазон значений, которые мы получим при измерении L, и перекроет нам возможность совершать сколь угодно точное вычисление скорости частицы.

Имея дело с частицей, описываемой волновым пакетом, мы все равно ограничены принципом неопределенности. Так как изначально частица находится где‑то в области размером d, Гейзенберг информирует нас, что импульс частицы соответствующим образом искажается на величину h/d. Поэтому есть только один способ построения такой конфигурации циферблатов, чтобы представленная на ней частица двигалась с определенным импульсом, – нужно сделать d, то есть размер волнового пакета, очень большим. И чем больше он будет, тем меньше окажется неопределенность импульса частицы. Урок ясен: частица с хорошо известным импульсом описывается большой группой циферблатов[17]. Точнее говоря, частица с совершенно точно известным импульсом будет описана бесконечно длинной группой циферблатов, что означает бесконечно длинный волновой пакет.

Мы только что показали, что волновому пакету конечного размера не соответствует частица с определенным импульсом. Это значит, что, если измерить импульс очень большого количества частиц, которые описываются одним и тем же исходным волновым пакетом, мы не получим каждый раз один и тот же результат. Напротив, мы получим широкий набор разных ответов, и их разброс, как бы хороши мы ни были в экспериментальной физике, не может оказаться меньше, чем h / d.

Таким образом, мы можем сказать, что волновой пакет описывает частицу, которая движется с импульсом, определенным в рамках некоторого диапазона. Но уравнение де Бройля подразумевает, что в последнем предложении можно заменить слово «импульсы» словами «длины волн», потому что импульс частицы связан с волной определенной длины. Это, в свою очередь, означает, что волновой пакет должен состоять из волн разной длины. Точно так же, если частица описывается волной определенной длины, такая волна должна быть бесконечной. Кажется, нас подталкивают к выводу, что небольшой волновой пакет состоит из многих бесконечных волн разной длины. И действительно, нас побуждают двигаться по этому пути, и то, что мы описываем, хорошо знакомо математикам, физикам и инженерам. Мы входим в область математики, известную как анализ Фурье и названную в честь французского физика Жозефа Фурье.

Фурье был колоритной личностью. Среди его многочисленных достижений – губернаторство в Нижнем Египте при Наполеоне и открытие парникового эффекта. По слухам, ему нравилось заворачиваться в простыни, что в итоге привело к его безвременной кончине в 1830 году, когда он, плотно завернувшись, упал с собственной лестницы. Его главная аналитическая работа касалась теплопроводности твердого тела и была опубликована в 1807 году, хотя основная идея известна с гораздо более раннего времени.

Фурье показал, что абсолютно любая волна сколь угодно сложной формы и любого размера может быть получена сложением ряда волн‑синусоид разной длины. Лучше всего показать это с помощью иллюстрации. На рис. 5.4 пунктирная кривая получается при сложении двух первых волн‑синусоид на нижних графиках. Вы можете сложить их едва ли не в уме: обе волны имеют максимальную высоту в центре, так что складываются именно там, а на концах гасят друг друга. Штриховая кривая – это результат сложения всех четырех волн, показанных на нижних графиках, и в ней пик в центре еще более выражен. Наконец, непрерывная кривая показывает, что произойдет при сложении первых десяти волн, то есть четырех приведенных на иллюстрации плюс еще шести с последовательно уменьшающейся длиной. Чем больше мы добавляем волн, тем больше подробностей можем увидеть в результате. Волновой пакет на верхнем графике может описать локализованную частицу, в отличие от волнового пакета, изображенного на рис. 5.3. Таким образом, появляется реальная возможность синтезировать волну любой формы – и все это с помощью сложения простых волн‑синусоид.

 

Рис. 5.4. Верхний график: сложение нескольких волн‑синусоид дает в результате волновой пакет с резким пиком. Пунктирная кривая состоит из меньшего количества волн, чем штриховая, а та, в свою очередь, из меньшего, чем непрерывная. Нижние графики: первые четыре волны составляют волновой пакет на верхнем графике

 

Уравнение де Бройля сообщает нам, что каждая волна на нижних графиках рис. 5.4 соответствует частице с определенным импульсом, и этот импульс увеличивается с уменьшением длины волны.

Теперь становится более понятно, почему частица, описываемая локализованной группой циферблатов, должна обязательно иметь диапазон импульсов.

Продолжим пояснения и предположим, что частица описывается группой циферблатов, представленных непрерывной кривой на верхнем графике рис. 5.4[18]. Мы только что выяснили, что эту частицу можно описать и рядом гораздо более длинных групп циферблатов: первая волна с нижнего графика, плюс вторая волна с нижнего графика, плюс третья волна с нижнего графика и т. д. В этом случае в каждой точке оказывается несколько циферблатов (по одному из каждой длинной группы), которые мы должны сложить, чтобы получился единичный циферблат, представленный на верхнем графике рис. 5.4. Выбор метода представления частицы полностью зависит от вас: можно считать, что она представлена одним циферблатом в каждой точке (в этом случае размер циферблата непосредственно поясняет, где вероятнее всего обнаружить частицу, а именно в окрестности пика верхнего графика рис. 5.4). Или же можно считать, что она описывается как математический ряд циферблатов в любой точке, каждый из которых соответствует одному из возможных значений импульса частицы. Таким способом разложения в ряд мы напоминаем себе, что частица, локализованная в небольшой области пространства, не имеет определенного импульса. Невозможность построить компактный волновой пакет из волн одной‑единственной длины – очевидная особенность математики Фурье.

Такой образ мысли дает возможность по‑новому взглянуть на принцип неопределенности Гейзенберга. Он утверждает, что мы не можем описать частицу как локализованную группу циферблатов, если эти циферблаты соответствуют волнам только одной длины. Напротив, чтобы циферблаты отменяли друг друга за пределами локализованной области, мы обязаны смешивать волны разной длины, а следовательно, и разного импульса. Итак, цена, которую мы платим за локализацию частицы в какой‑то области пространства, состоит в том, что мы не знаем ее импульса. Более того, чем сильнее мы ограничиваем область возможного местоположения частицы, тем больше волн разной длины нужно добавлять и тем хуже мы знаем импульс частицы. Именно это и составляет содержание принципа неопределенности, и очень приятно, что мы пришли к тому же выводу иным путем[19].

Завершая эту главу, мы хотели бы еще немного поговорить об анализе Фурье. Это очень хорошее средство описания квантовой теории, и оно тесно связано с идеями, которые мы как раз обсуждаем. Важно, что каждая квантовая частица, что бы она ни делала, описывается волновой функцией. Как мы уже говорили, волновая функция – это просто ряд небольших циферблатов, по одному для каждой точки в пространстве, – а размер циферблата определяет вероятность нахождения частицы в конкретной точке. Такой метод представления частицы носит название волновой функции пространственного положения, поскольку непосредственно связан с возможными положениями, которые может иметь частица. Однако есть много вариантов математического представления волновой функции, и маленькие циферблаты в пространственной версии – лишь один из них. Мы уже касались этого вопроса, когда говорили, что можно представить частицу в виде суммы волн‑синусоид. Если ненадолго задержаться на этой возможности, легко понять, что составление полного списка волн‑синусоид действительно дает исчерпывающее описание частицы (потому что при сложении этих волн можно получить циферблаты, связанные с волновой функцией пространственного положения).

Иными словами, если мы точно укажем, какие именно волны‑синусоиды нужны нам для построения волнового пакета и с каким коэффициентом нужно прибавить каждую из волн‑синусоид, чтобы получить нужную форму пакета, у нас получится иное, но полностью эквивалентное описание волнового пакета. Интересно, что любая волна‑синусоида сама может быть описана одиночным воображаемым циферблатом: его размер отражает максимальную высоту волны, а фаза волны в определенной точке может быть представлена временем, на которое указывает стрелка. Таким образом, мы можем предпочесть представление частицы не через циферблаты в пространстве, но через альтернативный набор циферблатов – по одному для каждого возможного значения импульса частицы. Это описание столь же экономично, как и представление «циферблатов в пространстве», и вместо указания наиболее вероятного положения частицы мы указываем наиболее вероятные значения ее импульса. Этот альтернативный ряд циферблатов называется волновой функцией пространства импульсов и содержит ровно ту же информацию, что и волновая функция пространства положений[20].

Возможно, это звучит очень абстрактно, но технология, основанная на идеях Фурье, успешно используется в повседневной жизни: разложение волны на составляющие ее волны‑синусоиды – это основа технологии аудио– и видеосжатия. Представьте себе звуковые волны, образующие вашу любимую мелодию. Эта сложная волна, как мы уже знаем, может быть разбита на составляющие с помощью ряда чисел, которые показывают относительный вклад каждой из множества волн‑синусоид в получающийся звук. Оказывается, что, хотя для абсолютно точного воспроизведения исходного звука требуется множество отдельных волн‑синусоид, можно отказаться от многих из них, что совершенно не скажется на восприятии качества аудиозаписи. Например, удаляются волны‑синусоиды от звуков, не воспринимаемых человеческим слухом. Это существенно сокращает количество данных, которые нужны для хранения аудиофайла, поэтому ваши mp3‑плееры не очень большие.

Можно задаться вопросом: как реально применить другую, еще более абстрактную версию волновой функции? Рассмотрим частицу, которая отображается одиночным циферблатом в представлении пространства положений. Так описывается частица, находящаяся в определенном месте Вселенной; в единственной точке – там, где расположен циферблат. Теперь рассмотрим частицу, которая отображается одиночным циферблатом в представлении пространства импульсов. Так описывается частица с единственным, точно определенным импульсом. Описание такой частицы с помощью волновой функции пространства положений потребует – по контрасту – бесконечного количества циферблатов одинакового размера, потому что, согласно принципу неопределенности, частица с точно определенным импульсом может находиться где угодно. В результате иногда проще производить вычисления непосредственно в терминах волновой функции пространства импульсов.

В этой главе мы выяснили, что описание частицы методом циферблатов способно схватывать суть того, что мы обычно называем «движением». Мы узнали, что наше восприятие равномерного движения объектов от одной точки к другой, согласно квантовой теории, является иллюзией. Более правдоподобно будет предположить, что частицы движутся из точки А в точку В всеми возможными путями. Только при сложении всех возможностей появляется движение в том виде, в каком мы его воспринимаем[21]. Мы также ясно увидели, как описание с помощью циферблатов позволяет перейти к волновой физике даже несмотря на то, что мы имеем дело лишь с частицами, подобными точкам. Сейчас пора использовать это сходство с волновой физикой для ответа на важный вопрос: как квантовая теория объясняет структуру атомов?

 

 

Музыка атомов

 

Изнутри атом представляет собой нечто странное. Если, например, вы встанете на протон и посмотрите оттуда во внутриатомное пространство, то увидите лишь пустоту. Электроны будут слишком малы, чтобы их разглядеть, даже если окажутся на расстоянии вытянутой руки, но даже и это будет происходить слишком редко. Протон в диаметре равен примерно 10–15 м, то есть 0,000 000 000 000 001 метра, и по сравнению с электроном он просто квантовый колосс. Если вы стоите «на протоне» у побережья Англии, на белых скалах Дувра, то расплывчатые пределы атома расположатся где‑то на фермах северной Франции. Атомы обширны и пусты, поэтому ваша полноразмерная версия тоже обширна и пуста. Простейший атом – это водород, состоящий из одного протона и одного электрона. Поскольку электрон исчезающе мал, может показаться, что область его движения безгранична, но это не так. Он прикреплен к протону взаимным электромагнитным притяжением, и именно размер и форма этой просторной тюрьмы определяют характерный штрихкод из цветов радуги, тщательно зафиксированный в Handbuch der Spectroscopie нашим старым приятелем и частым гостем профессором Кайзером.

Сейчас мы можем применить накопленные знания для решения вопроса, который ставил в тупик Резерфорда, Бора и других ученых в первые десятилетия XX века: что именно происходит внутри атома? Если помните, проблема состояла в том, что Резерфорд выяснил сходство атома в некоторых отношениях с миниатюрной Солнечной системой: Солнце как твердое ядро в центре, и электроны как планеты, вращающиеся по удаленным орбитам. Резерфорд знал, что эта модель не может быть верной, потому что электроны на орбитах вокруг ядра должны постоянно испускать свет. Результат должен быть для атома катастрофическим, потому что, если электрон постоянно испускает свет, он должен терять энергию и закручиваться по спирали в направлении неизбежного столкновения с протоном. Конечно, этого не происходит. Атомы довольно стабильны, поэтому в нарисованной картине что‑то не так. Но что?

Эта глава очень важна для всей книги, потому что здесь мы впервые попытаемся с помощью нашей теории объяснить явления реального мира. Весь наш труд до этого момента носил теоретический характер: мы разрабатывали особый «формализм» – способы представления квантовой частицы. Принцип неопределенности Гейзенберга и уравнение де Бройля стали венцом наших усилий, но в целом мы вели себя достаточно скромно, рассматривая Вселенную как состоящую из одной‑единственной частицы. Теперь пора показать, как квантовая теория влияет на наш повседневный мир. Структура атомов – вещь исключительно реальная и осязаемая. Вы состоите из атомов: их строение – это ваше строение, их стабильность – ваша стабильность. Можно без особого преувеличения сказать, что понимание структуры атомов – одно из непременных условий понимания Вселенной в целом.

В атоме водорода электрон заперт в области, окружающей протон. Начнем с того, что представим, будто этот электрон заперт в своего рода ящике, что, впрочем, не так далеко от истины. Мы займемся исследованием того, до какой степени физика электрона, запертого в маленьком ящике, отражает ключевые особенности реального атома. Мы продолжим использовать то, что усвоили из предыдущей главы по поводу волновых свойств квантовых частиц: когда дело доходит до описания атомов, волновая картина действительно все упрощает, и мы можем добиться серьезного прогресса, не особенно беспокоясь по поводу уменьшения, добавления и смещения часов и их стрелок. Однако нужно все время держать в уме, что волны – это удобное приближение к тому, что происходит «под покровом». Так как структура, разработанная нами для квантовых частиц, очень близка к той, что описывает водяные волны, звуковые или волны гитарной струны, рассмотрим сначала поведение этих знакомых нам материальных волн в условиях определенного рода ограничений.

В целом следует сказать, что волны – сложные объекты. Представьте, что вы прыгаете в бассейн, полный воды. Вода немедленно начнет расплескиваться, и, кажется, не получится описать происходящее какими‑то простыми методами. Однако за этой сложностью таится скрытая простота. Ключевым фактором будет ограниченность воды бассейном, то есть все волны в нем заперты. Это порождает феномен, известный под названием стоячей волны. Стоячие волны скрыты от нас в том беспорядке, который мы видим после своего прыжка в бассейн, но есть способ заставить воду «осциллировать» – двигаться в форме регулярных, повторяющихся колебаний стоячих волн. Рис. 6.1 показывает, как выглядит водная поверхность после того, как подвергнется одному такому колебанию. Максимумы и минимумы восходят и нисходят, но самое важное – то, что они восходят и нисходят строго в одном и том же месте. Есть и другие стоячие волны, в том числе такая, где вода в центре цистерны ритмически поднимается и опускается. Эти особые волны мы обычно не видим, потому что их трудно создать, но смысл в том, что абсолютно любое возмущение воды – даже вызванное нашим не самым элегантным нырком и последующей отчаянной молотьбой руками – может быть представлено в виде некоего сочетания различных стоячих волн. Мы уже встречались с таким типом поведения – это прямое обобщение идей Фурье, с которыми мы познакомились в прошлой главе.

 

Рис. 6.1. Шесть последовательных срезов стоячей волны в цистерне с водой. Ось времени направлена от верхнего левого к нижнему правому снимку

 

Там мы видели, что любой волновой пакет может состоять из сочетания волн определенной длины. Эти особые волны, отражающие состояние частицы с определенным импульсом, – синусоиды. В случае с запертыми водяными волнами можно сделать обобщение, что любое возмущение воды всегда можно описать с помощью какого‑то сочетания стоячих волн. Позже в этой главе мы увидим, что стоячие волны имеют в квантовой теории важную интерпретацию: собственно говоря, в них содержится ключ к пониманию строения атома. Держа это в уме, рассмотрим стоячие волны более пристально.

На рис. 6.2 показан еще один пример стоячих волн в природе – три из множества возможных стоячих волн на гитарной струне. Когда мы трогаем гитарную струну, мы слышим звук, который определяется стоячей волной наибольшей длины – первой из трех, показанных на рисунке. И в физике, и в музыке это известно под названием низшей гармоники, или основного тона. Волны другой длины обычно тоже присутствуют и называются обертонами, или высшими гармониками.

 

Рис. 6.2. Три волны наибольшей длины, которые могут возникнуть при переборе гитарной струны. Самая длинная волна (сверху) соответствует нижней гармонике (основному тону), а остальные – высшим гармоникам (обертонам)

 

Две другие волны на рисунке – это два обертона с наибольшими длинами волн.

Гитара – отличный пример: довольно легко понять, почему гитарная струна может вибрировать только на этих конкретных волнах. Дело в том, что она фиксирована на обоих концах: с одной стороны – кобылкой[22], а с другой – пальцами, прижимающими струну к грифу. Это значит, что в двух этих точках струна не может двигаться, что и определяет разрешенные длины волны. Если вы играете на гитаре, вы инстинктивно понимаете такую физику: перебирая пальцами по грифу по направлению к кобылке, вы уменьшаете длину струны, тем самым заставляя ее колебаться с меньшей длиной волны, что соответствует более высоким нотам.

Нижняя гармоника – это волна, которая имеет всего две стационарные точки, или «узла»; во всех остальных точках она движется. Как видно на рисунке, длина волны звука равна двойной длине струны. Следующая, меньшая длина волны уже равняется длине струны, потому что мы можем видеть еще один узел в центре. Затем можно получить волну с длиной в ⅔ длины струны и т. д.

В целом, как и в случае с водой, запертой в бассейне, струна будет вибрировать в каком‑то сочетании различных возможных стоячих волн, в зависимости от того, как именно тронута струна. Конкретную форму струны всегда можно получить, сложив стоячие волны, соответствующие каждой из имеющихся гармоник.

Гармоники и их относительные размеры дают характерный тон звука. У разных гитар будет разное распределение гармоник, поэтому и звучать они будут по‑разному, но среднее до (чистая гармоника) на одной гитаре практически совпадает со средним до на другой.

Для гитары форма стоячих волн очень проста: это чистые синусоиды, и их длина фиксирована длиной струны. Для случая с бассейном стоячие волны более сложные, что показано на рис. 6.1, но общая идея такая же.

Возможно, вас интересует, почему эти конкретные волны называются стоячими. Дело в том, что они не меняют своей формы. Если мы сделаем два снимка гитарной струны, колеблющейся в форме стоячей волны, то эти две фотографии будут отличаться только общим размером волны. Пики будут всегда находиться в одних и тех же местах, как и узлы, которые фиксируются концами струны или, в случае с бассейном, его бортиками.

С математической точки зрения можно сказать, что волны на двух фотографиях отличаются только общим множителем. Этот множитель периодически колеблется со временем и отражает ритмические колебания струны. То же самое верно и для бассейна на рис. 6.1, где каждая фотография отличается от остальных общим множителем. Например, последняя фотография может быть получена из первой посредством умножения высоты волны в каждой точке на −1.

Иными словами, волны, каким‑то образом ограниченные, всегда можно выразить в виде суммы стоячих волн (то есть тех, которые не меняют своей формы), и, как мы уже сказали, есть довольно серьезные причины посвятить им столько времени. Главная из них – стоячие волны квантованы. Это совершенно очевидно для стоячих волн на гитарной струне: длина основного тона в два раза превышает длину струны, а следующая по длине возможная волна равняется длине струны. Между этими двумя волнами стоячей волны с какой‑либо промежуточной длиной быть не может, так что можно сказать, что разрешенные длины волн на гитарной струне квантованы.

Таким образом, с помощью стоячих волн проявляется следующее: «запирая» волны, мы что‑то квантуем. В случае с гитарной струной это, очевидно, длина волны. В случае с электроном внутри ящика квантовые волны, соответствующие электрону, тоже будут заперты, и по аналогии можно ожидать, что в ящике будут присутствовать лишь волны с определенным, конкретным набором длин волн, а, следовательно, нечто вновь будет квантовано. Другие волны просто не могут существовать, как гитарная струна не может одновременно звучать всеми нотами в октаве. И общее состояние электрона, как и звук гитары, описывается смешением стоячих волн. Эти квантовые стоячие волны начинают выглядеть очень интересно. Заинтригованы? Приступаем к анализу.

Чтобы продвинуться в своих исследованиях, мы должны уточнить форму ящика, в который помещаем наш электрон. Для простоты предположим, что электрон может свободно двигаться в области размером L, но ему полностью запрещено выходить за пределы этой области. Необязательно уточнять, каким образом мы собираемся запретить электрону это делать, но, если наша модель претендует на то, чтобы быть упрощенной моделью атома, нужно представить, что за это отвечает притяжение положительно заряженного ядра. На научном жаргоне это имеет название «прямоугольная потенциальная яма». Мы зарисовали эту ситуацию на рис. 6.3, и причины для такого названия представляются очевидными. Идея заключения частицы в потенциальной яме очень важна, мы обратимся к ней еще не раз, поэтому полезно убедиться, что мы точно понимаем, о чем идет речь. Как на самом деле можно улавливать частицы?

 

Рис. 6.3. Электрон, пойманный в прямоугольную потенциальную яму

 

Вопрос довольно сложный: чтобы добраться до его сути, нужно выяснить, как частицы взаимодействуют друг с другом, о чем пойдет речь в главе 10. Тем не менее мы можем добиться прогресса в рассуждениях, если не будем задавать слишком много вопросов.

Способность «не задавать слишком много вопросов» – необходимый для физика навык, потому что для получения хоть каких‑то ответов где‑то надо провести черту, так как ни одна система объектов не может быть полностью изолированной. Кажется разумным, что при желании понять, как работает микроволновая печь, не стоит интересоваться движением вокруг нее.

Все это движение окажет незначительное влияние на работу микроволновки. Оно вызовет колебания воздуха и земли, которые повлекут за собой небольшие сотрясения и самой печи. Могут появиться какие‑то бродячие магнитные поля, которые повлияют на работу электроники, как бы хорошо она ни была защищена от подобных воздействий. Игнорируя такие вещи, легко допустить ошибку, так как можно упустить из виду действительно важные детали. Если так и произойдет, мы получим неверный ответ и будем вынуждены пересмотреть предположения. Это очень важный момент, напрямую связанный с научным успехом: все предположения в конце концов подтверждаются или опровергаются экспериментально. Арбитром является природа, а не человеческая интуиция. Поэтому наша стратегия – игнорировать подробности функционирования механизма удержания электрона и моделировать нечто под названием «потенциал». Слово «потенциал» на самом деле обозначает «воздействие на частицу какой‑то физической или иной силы, которую я не очень хочу подробно объяснять». Мы, впрочем, позже подробно опишем методы взаимодействия частиц, а пока будем употреблять термин «потенциал». Если это звучит несколько бесцеремонно, рассмотрите пример, иллюстрирующий использование потенциалов в физике.

На рис. 6.4 изображен мяч, лежащий в долине. Если ударить по мячу, он может подняться, но лишь до определенного предела, после чего снова упадет. Это отличный пример частицы, пойманной потенциалом. В этом случае гравитационное поле Земли создает потенциал, а крутой холм порождает крутой потенциал. Нужно понимать, что мы можем вычислить подробности передвижения мяча по долине, не зная деталей того, как долина взаимодействует с мячом, потому что для этого пришлось бы знать еще и теорию квантовой электродинамики. Если окажется, что детали внутриатомного взаимодействия между атомами в долине и атомами в мяче слишком сильно воздействуют на движение мяча, наши предсказания окажутся неверными. На самом деле внутриатомные взаимодействия важны, потому что из них возникает трение, но моделировать ситуацию можно и без обращения к диаграммам Фейнмана. Однако мы уклонились от темы.

 

Рис. 6.4. Мяч лежит в долине. Высота над уровнем моря прямо пропорциональна потенциалу, воздействию которого подвергается движущаяся частица

 

Этот пример очень важен, потому что в прямом смысле демонстрирует форму потенциала[23].

Однако идея имеет более общее содержание и работает в том числе и для потенциалов, созданных не гравитацией и не впадинами на земной поверхности. Примером служит электрон, оказавшийся в прямоугольной яме. В отличие от случая с мячом в долине, высота стенок ящика не может быть точной высотой чего бы то ни было; скорее, можно говорить, что она соответствует скорости, с которой должен двигаться электрон, чтобы выбраться из ямы. В случае с долиной аналогом этого будет быстрое движение мяча, при котором он взлетит выше стен и выскочит из ямы. Если электрон движется достаточно медленно, точная высота потенциала не имеет особого значения, и можно уверенно предположить, что движение электрона ограничено внутренней частью ямы.

Теперь сосредоточимся на электроне, замкнутом в ящике, который описывается прямоугольной потенциальной ямой. Поскольку он не может вырваться из ящика, квантовые волны должны упасть до нуля у его стенок. Три возможные квантовые волны с наибольшими длинами будут полностью аналогичны волнам, созданным гитарной струной и показанным на рис. 6.2: самая длинная волна будет иметь двойной размер по сравнению с ящиком, то есть 2 L; следующая по длине волна будет равна размеру ящика – L; а следующая – 2 L / 3. В общем случае мы можем описать электронные волны формулой 2 L / n, где n = 1, 2, 3, 4 и т. д.

Таким образом, для нашего прямоугольного ящика электронные волны будут иметь точно такую же форму, что и волны на гитарной струне: это будут волны‑синусоиды с четко определенным набором разрешенных длин. Теперь можно двинуться вперед, призвав на помощь уравнение де Бройля из предыдущей главы и связав длину этих волн‑синусоид с импульсом электрона: p = h / λ. В этом случае стоячие волны описывают электрон, которому разрешено иметь лишь определенные импульсы, заданные формулой p = nh / ( 2 L), где все, что нам остается, – подставить разрешенные длины волны в уравнение де Бройля.

Получается, что импульс нашего электрона в прямоугольной яме квантуется. Это уже большое достижение. Однако надо быть осторожными: потенциал на рис. 6.3 – специфический случай, для других потенциалов стоячие волны обычно не синусоидальные. На рис. 6.5 показана фотография стоячих волн, созданных барабаном. Кожа барабана усыпана песком, который собирается в узлах стоячей волны. Так как кайма вибрирующего барабана круглая, а не прямоугольная, стоячие волны уже не будут синусоидами[24]. Это значит, что в более реалистичной ситуации, когда электрон пойман протоном, стоячие волны тоже не будут синусоидами. В свою очередь, это подразумевает, что связь между длиной волны и импульсом утеряна. И как в этом случае интерпретировать стоячие волны? Что если у пойманных частиц квантуется не импульс?

 

Рис. 6.5. Вибрирующий барабан покрыт песком. Песок собирается в узлах стоячих волн

 

Мы можем найти ответ, если заметим, что в прямоугольной потенциальной яме квантуется не только импульс электрона, но и его энергия. Это простое наблюдение, кажется, не содержит никакой новой важной информации, поскольку энергия и импульс прямо связаны друг с другом, а именно энергия E = p ² / 2 m, где p – импульс удерживаемого электрона, а m – его масса[25]. Но это наблюдение не такое уж бесполезное, как можно подумать, потому что для потенциалов не столь простых, как прямоугольная яма, каждая стоячая волна всегда соотносится с частицей определенной энергии.

Важное различие между энергией и импульсом появляется потому, что уравнение E = p ² / 2 m верно, только если потенциал одинаков по всей области вероятного пребывания частицы и позволяет ей двигаться свободно, как по мраморной столешнице или, что больше относится к делу, как электрону в прямоугольной яме. В общем случае энергия частицы не будет сводиться к E = p ² / 2 m; это будет сумма кинетической и потенциальной энергий частицы. Так разрушается прямая связь между энергией частицы и ее импульсом.

Можно еще раз проиллюстрировать это положение с помощью мяча в долине с рис. 6.4. Начнем с мяча, который счастливо покоится на дне. С ним ничего не происходит[26]. Чтобы заставить мяч катиться вверх по склону, его нужно ударить, то есть добавить ему энергии. В мгновение, следующее за ударом, вся его энергия будет кинетической. По мере подъема мяча по склону он будет замедляться, пока на какой‑то высоте не остановится, после чего будет снова падать. В момент остановки он не будет обладать кинетической энергией, но ведь энергия не исчезла по волшебству. На самом деле вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную, которая равняется mgh, где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли, а h – высота мяча над земной поверхностью. Когда мяч начинает падать, эта накопленная потенциальная энергия при наборе скорости постепенно снова превращается в кинетическую. Итак, пока мяч перелетает с одного конца долины в другой, общая энергия остается постоянной, но периодически перетекает из кинетической в потенциальную. Разумеется, импульс мяча постоянно меняется, но суммарная энергия остается неизменной (предположим, что трения, замедляющего скорость мяча, не существует. Если бы мы включили его в нашу картину, общая энергия тоже осталась бы неизменной, но нужно было бы добавить в качестве ее составляющей энергию, идущую на трение).

Сейчас мы попытаемся исследовать связь между стоячими волнами и частицами определенной энергии иным способом, не обращаясь к особому случаю прямоугольной ямы. Воспользуемся на сей раз маленькими квантовыми циферблатами.

В первую очередь заметьте: если электрон в какой‑то момент времени описывается стоячей волной, то он будет описываться той же стоячей волной и в любой следующий момент. Под «той же» мы подразумеваем неизменность формы волны, как в случае со стоячей водяной волной на рис. 6.1. Мы, конечно, не имеем в виду, что волна вообще не меняется: изменяется ее высота, но не положение пиков и узлов.

Это позволяет нам установить, как должно выглядеть описание стоячей волны в терминах квантовых циферблатов, и оно показано на рис. 6.6 для случая стоячей волны основного тона. Размеры циферблатов вдоль волны отражают положение пиков и узлов, а все стрелки часов движутся с одинаковой скоростью. Надеемся, вы понимаете, почему мы изобразили именно такую группу циферблатов. Узлы должны всегда быть узлами, а пики – пиками, и они все должны оставаться на одном месте. Это значит, что циферблаты вблизи узлов должны всегда быть очень маленькими, а циферблаты, соответствующие пикам, должны всегда иметь самые длинные стрелки. Таким образом, единственное, что мы вольны делать, – так это поместить циферблаты по своему усмотрению и заставить их стрелки вращаться синхронно. Если следовать методологии предыдущих глав, мы должны были бы начать с конфигурации циферблатов, показанной в верхнем ряду рис. 6