Общее уравнение поверхности второго порядка. Сфера

Определение

Поверхностью второго порядка будем называть геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению

(2.19.1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Уравнение (2.19.1) будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

Это уравнение в зависимости от значений коэффициентов a_ij может определять сферу, эллипсоид, однополосный или двуполостный гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндрическую или коническую поверхность второго порядка.

В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр в точке с координатами и радиус r,определяется уравнением

.

(2.19.2)

Сфера радиуса , центр которой находится в начале координат, имеет уравнение

.

(2.19.3)

 

Эллипсоид

Определение

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

,

(2.20.1)

где a, b, c – полуоси эллипсоида (рис. 2.20.1).

Уравнение (2.20.1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Эллипсоид, у которого все полуоси различны, называется трехосным. В том случае, когда какие–нибудь две из полуосей одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения, т.е. такой эллипсоид получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Центр симметрии эллипсоида (2.20.1) совпадает с началом координат.

Если центр эллипсоида перенесен в точку , то его каноническое уравнение принимает вид

.

(2.20.2)

Рис. 2.20.1

 

Гиперболоиды

Определение

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются каноническими уравнениями вида

,	(2.21.1)
	(2.21.2)

Рис. 2.21.1	Рис. 2.21.2

 

Гиперболоид, определяемый уравнением (2.21.1) называется однополостным (Рис. 2.21.1); гиперболоид, определяемый уравнением (2.21.2), – двуполостным (Рис. 2.21.2). Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. Центр симметрии в уравнениях (2.26.1) и (2.26.2) совпадает с началом координат.

Ось Oz является осью однополостного гиперболоида. Горизонтальные плоскости пересекают однополостный гиперболоид (Рис. 2.21.1) по эллипсам, причем наименьший (“горловой”) эллипс получается при и определяется уравнением . Вертикальные плоскости пересекают однополостный гиперболоид по гиперболам (Рис. 2.21.1). Гиперболоид, у которого полуоси a и b равны, является поверхностью вращения гиперболы вокруг оси Oz.

Если центр перенести в точку , то каноническое уравнение однополостного гиперболоида принимает вид

 

.

(2.21.3)

Поверхность двуполостного гиперболоида имеет две вершины в точках расположенных на оси Oz (Рис. 2.21.2). Горизонтальные плоскости пересекают поверхность двуполостного гиперболоида по эллипсам, вертикальные – по гиперболам. Гиперболоид, у которого полуоси a и b равны, является поверхностью вращения гиперболы вокруг оси Oz.

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида со смещенным центром имеет вид

.

(2.21.4)

 

Параболоиды

Определение

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

,	(2.22.1)
,	(2.22.2)

где p и q – положительные числа, называемые параметрами параболы.

Параболоид, определяемый уравнением (2.22.1), называется эллиптическим (Рис. 2.22.1); параболоид, определяемый уравнением (2.22.2), называется гиперболическим (Рис. 2.22.2). Уравнения (2.22.1) и (2.22.2) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов.

Осью эллиптического параболоида является к оординатная ось Oz. Его вершина находится в начале координат. Горизонтальные плоскости z=h, h>0 пересекают поверхность эллиптического параболоида по эллипсам, вертикальные – по параболам. В случае, когда p=q, параболоид, определяемый уравнением (2.22.1), является поверхностью вращения (вокруг оси Oz). Каноническое уравнение эллиптического параболоида со смещенным центром имеет вид

.

(2.22.3)

Рис. 2.22.1	Рис. 2.22.2

 

Ось гиперболического параболоида совпадает с осью I Oz. Горизонтальные плоскости z=h пересекают поверхность параболоида по гиперболам, причем гиперболы, полученные при h>0, сопряжены с гиперболами, полученными при h<0. Вертикальные плоскости пересекают поверхность параболоида по параболам.