Матричный метод решения с-мы линейных ур-ний

Этот метод основан на рав-ве .

 

Вопрос №10.Векторы и действия над ними.

Прямоуг. Декартова с-ма координат в пространстве.

Декартова с-ма корд. в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке 0 взаимноперпендик осей . О-начало координат. -ось абсцисс, -ось ординат, -аппликат.

Пусть М-произвольная точка пр-ва. Проведем через точку М 3 плоскости, ^ осям. Точки пересечения обозначим . Декартовыми коорд точки М в пр-ве наз числа , соотв. точкам .

Понятие вектора.

Любая упорядоченная пара точек А и В в пр-ве определяет направленный отрезок- вектор. А-начало вектора, В-конец вектора. Обозначают

Модуль вектора - его длина и обозн . Нулевой вектор -вектор, начало и конец кот совпадают. Единичный вектор -вектор, длина кот равна 1.

Вектора и наз коллинеарными если они лежат на параллельных прямых. Векторы и наз равными, если они коллинеарны и имеют равные длины. и наз противоположными , если они коллинеарны, противоположны и имеют равные длины.

3 вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .

Если и имеют общее начало, то сумма совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Св-ва суммы:

 

Разностью 2х векторов и наз , такой, что . Обозн

Произведение вектора , отличного от , на число , наз вектор , , удовлетворяющ. след. условиям:

и коллинеарны

если a>0, то векторы одинаково направлены, если a<0-противоположно направлены.

Св-ва:

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда , для нек-рого действительного числа .

Проекция вектора на плоскость

Пусть в пр-ве задана нек-рая ось и нек-рый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось наз величина вектора ,взятая со знаком «+», если направление совпадает с направлением оси и со знаком «-«- если направлен противоположно.

Св-ва:

Координаты вектора.

Пусть в пр-ве задана прямоуг. с-ма координат и произвольный вектор АВ.

Пусть

Проекции вектора АВ наз-ют координатами

Т. Для любых двух точек А и В координаты АВ определяются по ф-ле

Длина вектора.

Пусть произвольный вектор . Построим равный ему вектор, начало к-рого совпадает с началом координат. Проведем через конец вектора плоскости ^ осям координат. Вместе с координатными осями и координатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю к-рого служит отрезок ОА.

 

Вопрос №11.Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Разложение вектора по базисным векторам.

Пусть задана прямоуг. с-ма координат. Введем в рассмотрение единичные векторы, коорд. осей . -базисные вектора с-мы координат или орты. -произвольный вектор пр-ва. Отложим из начала координат вектор . По св-вам координат . Пусть числу на оси Ох соотв-ет точка , на . Тогда , ,

- ф-ла разложения по базисным векторам.

Пр. (1;2;3)

(1;0;0)+2(0;1;0)+3(0;0;1)=