Математическая модель. Классификация моделей по отраслям наук

Математическая модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики. Математическая модель — это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.

Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.
Классификация моделей по отраслям наук: математические модели в физике, биологии, социологии и тд.

12.Классификация моделей по применяемому мат.аппарату/ по общим задачам моделирования.

по применяемому мат.аппарату: модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.
Если исходить из общих задач моделирования в разных науках, наиболее естественна такая классификация:
• дескриптивные (описательные) модели - цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять или изменить процессы.
• оптимизационные модели - используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели;
• многокритериальные модели при моделировании используются несколько критериев, между которыми нужно искать баланс;
• игровые модели - имеют отношения не только компьютерным играм.

 

13. Что называется компьютерной математической моделью? Что называется вычислительным экспериментом?

Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.

14.Этапы компьютерного математического моделирования.

1. Постановка задачи и определение целей моделирования. Цели: понимание, управление, прогнозирование.

2. Определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием.

3. Разработка концептуальной модели – формулировка предположений и упрощений.

4. Построение математической модели - происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление.

5. Выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию.

6. Разработка алгоритма расчета.

7. Кодирование алгоритма с помощью средств программирования, составление и откладка программы для ЭВМ.

8. Тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом.

9. Проверка адекватности модели.

10. Использование компьютерной системы для решения поставленных задач.

11.Интерпретация результатов компьютерного моделирования – выводы и результаты.

 

15. Математические системы (системы компьютерной математики), назначение, решаемые задачи, численные методы, символьная математика.
Система компьютерной алгебры — это приложение, помогающее выполнять символьные вычисления.
Назначение: работа с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.
Символьные (аналитические) действия:
· упрощение выражений до меньшего размера или приведение к стандартному виду, включая автоматическое упрощение с использованием предположений и ограничений
· подстановка символьных и численных значений в выражения
· изменение вида выражений: раскрытие произведений и степеней, частичная и полная факторизация (разложение на множители)
· разложение на простые дроби, результат удовлетворяющий некоторому условию, запись тригонометрических функций через экспоненты, преобразование логических выражений, и т. д.
· дифференцирование в частных и полных производных
· нахождение неопределённых и определённых интегралов (Символьное интегрирование)
· символьное решение задач оптимизации: нахождение глобальных экстремумов, условных экстремумов и т.д.
· решение линейных и нелинейных уравнений
· алгебраическое (не численное) решение дифференциальных и конечно-разностных уравнений
· нахождение пределов функций и последовательностей
· интегральные преобразования
· оперирование с рядами: суммирование, умножение, суперпозиция и т.д.
· матричные операции: обращение, факторизация, решение спектральных задач и т.д.
· статистические вычисления
· автоматическое доказательство теорем, формальная верификация и т.п.
· синтез программ

16. Математическая система Derive: особенности, преимущества.
Система Derive, полное название которой Derive a Mathematical Assistant (математический помощник Derive), фирмы Soft Warehouse (Гонолулу, Гавайи, США) является малотребовательным к ресурсам пакетом символьной математики, ориентированным в первую очередь на студентов и школьных преподавателей. Однако он с успехом используется также для серьёзных научных исследований благодаря уникальной среди (существующих систем компьютерной алгебры) математической корректности, лёгкости в освоении, интуитивно понятному интерфейсу, низким системным требованиям и высокому быстродействию.
Главным преимуществом Derive является поразительной высокое качество реализованных алгоритмов: пакет практически никогда не выдаёт ложных ответов, чего не скажешь о других пакетах символьной математики.
Основные возможности пакета символьных вычислений Derive:
· упрощение выражений;
· дифференцирование и интегрирование функций одной или нескольких переменных;
· решение систем линейных уравнений;
· решение задач матричной алгебры;
· решение нелинейных уравнений;
· решение дифференциальных уравнений;
· разложение функции в ряд;
· вычисление пределов;
· вычисление сумм рядов;
· построения графиков функций.

 

17. Mathematica — система компьютерной алгебры компании Wolfram Research. Содержит множество функций как для аналитических преобразований, так и для численных расчётов. Кроме того, программа поддерживает работу с графикой и звуком, включая построение двух- и трёхмерных графиков функций, рисование произвольных геометрических фигур, импорт и экспорт изображений и звука.
Система Mathematica работает с множеством разных концепций: математическими формулами, списками, графикой и многими другими.
Нахождение решений уравнений: алгебраические, дифференциальные уравнения и неравенства, а также линейные системы.
Графы и сети: специальных семейств графов, генерирование случайных графов и интерактивное построение графов.
Теория вероятности и математическая статистика: анализ больших объемов данных, статистического анализа моделей, исследовательского анализа данных и др.

Линейная алгебра: символьные матрицы, числовые матрицы произвольной точности
Дискретный анализ: символьные операции, разностные уравнения, производящие функции, последовательности и численный дискретный анализ.
Полиномиальная алгебра: структурные операции, деление многочленов и многое другое.

Теория чисел: обширная библиотека функций, охватывающая мультипликативную, аналитическую, алгебраическую теорию чисел.

18. MATLAB — пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете.
Математика и вычисления
MATLAB предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики, в частности:
· Матрицы и линейная алгебра — алгебра матриц, линейные уравнения, собственные значения и вектора,
· Многочлены и интерполяция — корни многочленов, операции над многочленами и их дифференцирование
· Математическая статистика и анализ данных — статистические функции, статистическая регрессия, цифровая фильтрация
· Обработка данных — набор специальных функций, включая построение графиков, оптимизацию, поиск нулей, численное
интегрирование (в квадратурах) и другие.
· Дифференциальные уравнения — решение дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений
· Разреженные матрицы — специальный класс данных пакета MATLAB, использующийся в специализированных приложениях.
· Целочисленная арифметика — выполнение операций целочисленной арифметики в среде MATLAB.

Предназначен для численного моделирования систем.

 

19. Maple предназначен для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравненийи нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль.

Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня.

Система Maple поддерживает как двумерную, так и трехмерную графику

Все возможности в сочетании с прекрасно выполненным и удобным пользовательским интерфейсом и мощной справочной системой делают Maple первоклассной программной средой для решения самых разнообразных математических задач, способной оказать пользователям действенную помощь в решении учебных и реальных научно-технических задач.

Основное преимущество: встесторонняя поддержка сложных символьных вычислений, мощныег графические возможности и наличие многофункционального языка программирования.

20. Mathcad - простой, но продвинутый редактор математических текстов с широкими возможностями символьных вычислений и прекрасным интерфейсом. Все вычисления здесь осуществляются на уровне визуальной записи выражений в общеупотребительной математической форме. Пакет имеет хорошие подсказки, подробную документацию, функцию обучения использованию, целый ряд дополнительных модулей и приличную техническую поддержку производителя. Для небольшого объема вычислений MathCad идеален — здесь все можно проделать очень быстро и эффективно, а затем оформить работу в привычном виде