Индивидуальное многомерное шкалирование

Классическое многомерное шкалирование основано на предпосылке о том, что у всех респондентов существует единое пространство восприятия. В действительности же его может и не быть. Один из путей ослабления этой предпосылки - учет специфики метрик отдельных респондентов. Для этого проводится индивидуальное многомерное шкалирование.
При таком подходе к многомерному шкалированию метрика и названия (интерпретация) осей остаются неизменными, но вводится вес (важность) каждой оси для каждого респондента.
На входе мы имеем m матриц близостей между n объектами , l=1,... m
На выходе для каждого респондента получаем набор весов по каждой оси , t=1,...k, где k - количество осей.
Расстояния между двумя объектами i и j во взвешенном евклидовом пространстве рассчитываются по следующей формуле:
Исходные данные для многомерного шкалирования - матрица близостей {s_ij} между объектами. На выходе анализа - координаты объектов в евклидовом пространстве, матрица расстояний {p_ij} между ними.

Аксиомы для расстояний в евклидовом пространстве:

1. Расстояние объекта до самого себя равно нулю {p_ii=0}
2. Симметричность: расстояние от объекта i до объекта j равно расстоянию от объекта j до объекта i {p_ii=p_ji}
3. Правило треугольника: сумма двух сторон треугольника всегда больше или равна третьей стороне {p_ii+p_jk>p_ik}

Аксиомы для близостей (происходит смягчение требований):

1. Расстояние объекта до самого себя не больше, чем расстояние от этого объекта до любого другого

Условия, налагаемые на элементы матрицы различий в метрическом МШ, строго соответствуют следующим аксиомам расстояния в геометрическом пространстве:

1) Аксиома о рефлексивности

подразумевает, что сравнительная оценка двух идентичных стимулов (i) не должна превышать оценки сравнения этого стимула с любым другим (j) в наборе.

2) Аксиома о симметричности

означает, что оценка различия стимулов i и j не должна зависеть от временных или пространственных перестановок этих стимулов относительно друг друга.

3) Аксиома треугольника

требует, чтобы сумма различия между стимулами i и j и различия между j и k в триаде стимулов i, j и k была не меньше, чем различие между оставшейся парой стимулов i и k.

В терминах теории измерений выполнение этих аксиом означает, что субъективные оценки различий должны представлять собой величины на шкале отношений (Стивене, 1960). Только в этом случае их можно рассматривать как расстояния между точками в психологическом пространстве.

При неметрическом МШ (Терехина, 19776; Шепард, 1981) исходная информация о различиях представляется в виде оценок, удовлетворяющих шкале порядка (Стивене, 1960). Конкретные числовые значения различий не учитываются. На соотношение субъективных различий и расстояний в психологическом пространстве в этом случае накладывается только требование монотонности. Иначе говоря, конфигурация точек-стимулов должна быть построена в пространстве мерностей таким образом, чтобы последовательности реконструируемых значений {d} и матричных величин {D} соответствовали друг другу по критерию сохранения взаимно однозначной монотонности (так называемому «стресс»-критерию). Конкретный вид соответствия {d} и {D} заранее не определяется и выступает как одно из неизвестных, находимых в процессе решения.

39. Основные модификации многомерного шкалирования: метрическое и неметрическое, индивидуальное, многомерное развертывание [3, 6, 7].

Как и в обычном многомерном шкалировании,

основной целью неметрического многомерного шкалирования является представление объектов в пространстве восприятия, однако допускается, что различные респонденты по-разному воспринимают это пространство. Иначе говоря, оценка объектов респондентами происходит по одному и тому же набору базовых характеристик (пространству), но респонденты при оценке придают этим параметрам (осям) различные веса. Формально это

означает, что при оценке близости между стимулами респонденты используют не обычное, а взвешенное расстояние. Говоря о методах метрического многомерного шкалирования, отметим только, что по типу отображения они делятся на линейные и нелинейные. Линейное метрическое шкалирование возникло первым, когда Торгерсон представил подробное описание алгоритма, начиная от процедуры сбора данных и кончая пространственным представлением30. Более поздние методы метрического многомерного шкалирования основаны на минимизации нелинейных функций несоответствия (критериев качества отображения) между исходными данными и пространственным представлением. В этом отношении они почти ничем не отличаются от методов неметрического многомерного шкалирования. Отличия этих методов заключены в самом виде функции несоответствия и объясняются различным уровнем измерения исходной информации.

40. Роль социолога в процессе применения многомерного шкалирования: формирование исходных данных и интерпретация результатов [3, 6, 7].

Шкала наименований (номинальная шкала) – шкала, при использовании которой для измерений получают минимальную информацию о сравниваемых объектах. А именно:

• 
  не может быть двух объектов с одним и тем же измеряющим их числом;
• 
  не может быть двух таких чисел на шкале измерения, которые поставлены в соответствие одному и тому же объекту.

Пример измерения в шкале наименований – присвоение в государственной автоинспекции каждой автомашине отдельного номера, выполняющего функцию «уникального имени» автомашины. Таким образом, единственная информация, получение которой обеспечивает измерение в номинальной шкале – это информация о том, что данный объект с помощью присвоенного ему «имени», выраженного числом, может быть идентифицирован, отделен от других объектов, принадлежащих вместе с ним к некоторой их совокупности.

^ Шкала порядка наряду с информацией, предоставляемой шкалой наименований, обеспечивает получение дополнительной информации о ранжировании¹ объектов, упорядоченных по возрастанию (убыванию) степени выраженности какой-либо их характеристики (предпочтительности, качества, затратам на производство). Наглядный пример – измерение температуры двух объектов без термометров: простым прикладыванием руки к поверхности определяют, у какого объекта температура выше (но при этом нельзя сказать, на сколько градусов выше). При измерении в такой шкале объекты могут быть ранжированы (упорядочены), например, по возрастанию температуры. Тогда получаемая в результате измерения информация будет выражаться в номере места каждого объекта в ранжированном ряду.

^ Шкала интервалов обладает еще большим информационным потенциалом. При измерении в этой шкале нескольких объектов, кроме информации, обеспечиваемой шкалой рангов, появляется дополнительная информация – на сколько один объект отличается от другого по измеряемой характеристике. Например, при измерении температуры шкалами интервалов используются шкалы Цельсия или Фаренгейта. При измерении в этих шкалах можно определить, на сколько градусов отличается температуры различных объектов, но нельзя узнать – во сколько раз объекты отличаются друг от друга по этой характеристике. Для этой шкалы функция, задающая отображение, имеет следующий вид:

.