Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Если в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) функция f(х,у) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢_y, то существует такая окрестность точки (х₀,у₀), в которой задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без доказательства)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢=f(x,y), удовлетворяющих начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.

Пусть дано уравнение у¢¢¢=f(x,y,y¢,y¢¢). Если обозначить функцию y¢и y¢¢ соответственно через m и n, то уравнение можно заменить системой

ìy¢=m

ím¢=n

în¢=f(x,y, m,n)

состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.

Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)

Пусть дана нормальная система из n уравнений с n неизвестными.

ìx₁=f(x₁,x₂,…,x_n),

ïx₂= f(x₁,x₂,…,x_n),

í…..

îx_n= f(x₁,x₂,…,x_n)..

Представим набор решений как вектор х= (x₁,x₂,…,x_n) в проистранстве Rⁿ.

....

Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x),f(x),…,f(x)).

Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:

...

x = f (x).

 

Теория вероятностей.

Случайные события и предмет теории вероятностей.

а)Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить (напр, выпадение герба при бросании монеты).

Согласно данному определению событие считается случайным, если его наступление в результате опыта (опыт – совокупность условий, которые можно воспроизводить бесконечное число раз) представляет собой лишь одну из возможностей.

Под это определение формально подходят такие события, которые обязательно наступают в результате данного опыта – достоверные события.

аналогичное замечание относится и к невозможным событиям,т.е. таким, которые никогда не наступают при совершении данного опыта.

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям.

б)Сравнивая между собой случайные события, мы говорим, что одно из них более вероятно. Чтобы придать подобным сравнениям количественный смысл, необходимо с каждым событием связать число, выражающее степень возможности данного события:

Пусть А – случ. событие в некотором опыте. Опыт произведен N раз и А наступило в N_A случаях. Составим отношение: μ= N_A/N.Оно называется частотой наступления А в серии опытов. Для многих случайных событий частота обладает свойством устойчивости, т.е. с увеличением числа опытов стабилизируется и приближается к некоторой постоянной р(А).

Вероятность случайного события – это связанное с данным событием постоянное число, к которому приближается частота наступления этого события в длинных сериях опытов. (статистическое определение: опирается на понятия "опыт", "наступление события")

Комбинация событий.

1)Сумма событий А и В есть событие С, которое заключается в том, что либо А произошло, либо В, либо А и В произошли вместе. С=А+В

2)Произведение событий А и В есть событие Д, которое заключается в том, что А и В произошли вместе. Д=АВ

3)Противоположное событие. А – исходное событие, Ā – противоположное событие заключается в том, что А не произошло (напр, А – попадание при выстреле, Ā – промах).

4)Равенство между событиями. События А и В считаются равными, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.

Каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции А+В, АВ, и Ā над событиями – как операции объединения, пересечения и дополнения для множеств.

5)А и В несовместны, если они не могут произойти вместе в одном опыте. АВ=Æ