Пример решения контрольной работы №3

Задание 1

Прямая проходит через точки и , прямая проходит через точки и . Составив уравнения прямых, найти точку их пересечения. Для проверки результата сделать чертёж.

Решение

Для составления уравнений прямых и используем уравнение прямой с угловым коэффициентом. Тогда уравнения прямых в общем виде можно записать так:

Учитывая, что координаты точки, принадлежащей прямой, должны удовлетворять её уравнению, для нахождения параметров уравнения первой прямой получим систему:

Решив систему, получим уравнение : .

Аналогично для нахождения параметров уравнения прямой составим и решим систему:

Тогда уравнение : .

Точка пересечения прямых должна удовлетворять уравнениям обеих прямых, т.е. быть решением системы:

Решением этой системы являются .

На рисунке отмечены заданные точки, проведены прямые, проходящие через них. Как видим, координаты точки их пересечения Е соответствуют их значениям, найденным аналитически.

Задание 2

Найти уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Изобразить полученную линию на координатной плоскости.

Решение

Для наглядности на чертеже изображена заданная прямая и заданная точка. Там же отмечена произвольная точка , принадлежащая линии, уравнение которой нужно составить.

Длина отрезка равна модулю разности ординат точки на заданной прямой и точки М: . Расстояние между точками А и М находится по формуле: .

По условию задачи: .

Подставляя в последнее равенство расстояния до точки и прямой, получим уравнение:

Раскрываем скобки:

Приведём подобные: . Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение эллипса: . Его изображение в соответствии с полученным уравнением приведено на рисунке.

Задание 3

Найти точку пересечения прямой и плоскости . Отметить найденную точку в трёхмерной декартовой системе координат.

Решение

Запишем уравнения прямой в параметрической форме:

Подставим полученные равенства в уравнение плоскости:

Тогда координаты точки пересечения:

Для того, чтобы отложить полученную точку в трёхмерной декартовой системе координат через значение абсциссы (10) проведём прямую, параллельную оси ординат. На ней от оси абсцисс отложим значение ординаты, равное 4. Из полученной точки вниз отложим значение аппликаты, равное -3.