Числовая последовательность

Если каждому натуральному n из множества натуральных чисел по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число x_n, то множество пронумерованных чисел

x ₁, x ₂, x ₃, …, x_n, … (1)

называется числовой последовательностью.

При этом числа x_i (i = 1, 2, 3, …, n, …) называются членами последовательности, символ x_n — общим членом, а число n является его номером.

Например, общий член x_n задается некоторой формулой x_n = n ². Полагая поочередно n = 1, 2, 3, …, получим числовую последовательность 1, 4, 9, ….

Предел и непрерывность функции

Пусть X и Y — некоторые множества, и пусть каждому поставлен в соответствие по определенному правилу f единственный элемент . Тогда говорят, что на множестве X задана функция одной переменной со значениями в множестве Y. Обозначение: y = f (x). В этом случае X — область определения функции. Обозначение: D (f).

Всякий интервал, содержащий точку x ₀, называется окрестностью точки x ₀.

Пусть . Интервал (x ₀ – ; x ₀ + ) называется - окрестностью точки x ₀.

Определение предела функции по Коши. Пусть функция y = f (x) определена в -окрестности точки x ₀ за исключением, быть может, точки x ₀. Тогда, если для любого , сколь угодно малым бы оно ни было, существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , то число B называется пределом функции в точке x ₀. Обозначение: .

Число В называется пределом функции f (x) в бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначение: .

Если для всех и выполняется неравенство , то . Если для всех и выполняется неравенство , то .

Рассмотрим , (). Если существует предел функции при х, стремящемся к х ₀, то он называется левым (правым) пределом функции в точке х ₀. Обозначение: .

Факт существования в точке х ₀ предела функции у = f (x) равносилен факту существования в этой точке равных между собой односторонних пределов .

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции (рис. 10).

 

Рис. 10

 

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если предел функции в точке х ₀ равен значению функции в этой точке, т. е. .

Функция f (x) называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

 

Элементарные функции

Основными элементарными функциями называют следующие функции:

1. Постоянную функцию у = с, с — const.

2. Степенную функцию у = х , — любое действительное число.

3. Показательную функцию у = а^х (0 < a 1).

4. Логарифмическую функцию .

5. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x,
y = ctg x.

6. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctg x, y = arcctg x.

Функцию, аналитическое выражение которой можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также при помощи операции взятия функции от функции, назовем элементарной функцией.

 

Пример.

Функции f (x) = arcsin (log₅(x ² + 1)), f (x) = , f (x) = являются элементарными.

 

Областью определения D (y) функции y = f (x) называется множество значений аргумента х, для каждого из которых существует вполне определенное числовое значение функции.

 

Теорема. Если элементарной функции y = f (x), то = f (x ₀).

Например, .

Теоремы о пределах

1. Функция y = f (x) в точке х ₀ не может иметь более одного предела.

2. Предел постоянной величины равен самой этой величине, т. е. .

3. Пусть f ₁(x) и f ₂(x) — функции, для которых существуют пределы при : , .

Тогда:

3.1. Существует и предел алгебраической суммы этих функций, причем предел этой алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов, т. е.

= А В.

3.2. Существует и предел произведения этих функций, причем предел этого произведения равен произведению этих пределов:

· = А · В.

3.3. Если В 0, то существует и предел частного этих функций, причем предел этого частного равен частному пределов, т. е.

Формулировка для случая, когда , аналогична.

Функция g (x) называется бесконечно малой функцией при (), если

.

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при (), если для любого Р > 0 найдется положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию (), выполняется неравенство . Обозначение: ().

Если f (x) при и f (x) принимает только положительные (отрицательные) значения, то пишут

.

Теорема (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями)

Если g (x) — бесконечно малая функция при (), то — бесконечно большая функция при ().

Если f (x) — бесконечно большая функция при (), то — бесконечно малая функция при ().

 

Замечательные пределы

— первый замечательный предел.

— второй замечательный предел ().

Вычисление пределов вида (2)

Для вычисления пределов вида (2) вычисляем пределы , . Могут встретиться следующие ситуации:

1. Если А, В — конечные числа, тогда С = А^В.

2. Если А = 1, В = , тогда для вычисления предела (2) применяют второй замечательный предел.

Во всех остальных случаях задачу вычисления предела (2) решают непосредственно.