Работа 3. Исследование кинематики маятника Обербека

И.Б. Стаценко, И.И. Марончук, А.Г. Рипп

Цель работы

Целью настоящей работы является изучение ускоренного вращательного движения маятника Обербека и измерение углового ускорения маятника.

Описание экспериментальной установки

O

Рисунок 1.1 – Маятник Обербека

r

m

Барабан

m 1

Метка

Маятник Обербека показан на рисунке 1.1. Он состоит из барабана, который может вращаться вокруг своей оси O, и четырёх стержней, скрепленных с ним. Один из стержней помечен. На каждый стержень надета привеска, которую можно перемещать вдоль стержня и фиксировать её с помощью стопорного винта в любом положении стержня. Все четыре привески (на рисунке они обозначены цифрами 1, 2, 3, 4) – одинаковые, у них одна и та же масса m ₁, и в данной лабораторной работе они устанавливаются на одном и том же расстоянии r от оси вращения вала O. При этом маятник называется симметричным. Барабан с помощью двух подшипников укреплён на неподвижном горизонтальном валу, который, в свою очередь, крепится на вертикальной стойке[4], поэтому ось вращения барабана O является фиксированной (закреплённой). Стойка с помощью крепёжных винтов устанавливается на краю лабораторного стола. На барабан намотана нить, свободный конец которой соединён с грузом массой m. Под действием силы тяжести груз опускается вниз (на пол), нить натягивается и приводит во вращение маятник.

Краткая теория

Вращение материального объекта – такой вид движения, при котором все точки объекта движутся по параллельным окружностям разных радиусов, причём центры этих окружностей лежат на прямой линии, перпендикулярной всем окружностям. Эта линия называется осью вращения. Точки, принадлежащие оси вращения (осевые точки) – исключение: они не вращаются

j

r0

Рис. 2.1. Угол поворота

r

Угол поворота j является базовой физической величиной, характеризующей положение твёрдого тела в пространстве. Другое название угла поворота – угловая координата. Определение угла поворота следующее. Выберем произвольную точку маятника и рассмотрим два её положения в пространстве: текущее, в момент времени t, и начальное, при t = 0 (см. рисунок 2.1). Радиус-векторы точки в двух её положениях – r и r ₀. Так вот угол поворота точки j – это угол между векторами r и r ₀. Особенностью твёрдого тела является то, что для любого момента времени t углы поворота всех его точек одинаковы. Следовательно, угол поворота может рассматриваться не только как характеристика вращения отдельной точки, но и как характеристика вращения всего твёрдого тела.

Быстроту вращения твёрдого тела количественно характеризует скорость изменения угла поворота, то есть производная . Эта производная обозначается буквой w и называется угловой скоростью или циклической частотой вращения. Если циклическая частота с течением времени не изменяется, то есть , то вращение называется равномерным. Если циклическая частота изменяется, то для количественного описания быстроты её изменения вводится величина , называемая угловым ускорением. Угловое ускорение тоже может быть либо постоянным, либо изменяющимся с течением времени. В случае вращение называется равноускоренным, циклическая частота при этом нарастает со временем. В случае вращение называется равнозамедленным, циклическая частота при этом убывает со временем.

В данной лабораторной работе маятник Обербека, вначале неподвижный, разгоняется, и его циклическая частота w нарастает. Оказывается, что при этом выполняется условие , так что вращение маятника – равноускоренное. Проверка этого факта составляет главную задачу лабораторной работы.

Выясним особенности равноускоренного вращения. Для этого, прежде всего, выясним, какими являются уравнения кинематики маятника, то есть функции j (t) и w(t). Из определения циклической частоты и углового ускорения

(2.1)

следуют обратные формулы:

, (2.2)

. (2.3)

Подстановка в (2.3) условия даёт:

.

C – это произвольная постоянная, которую можно определить из начального условия . В итоге C = 0, так что при равномерном вращении

, (2.4)

то есть циклическая частота w прямо пропорциональна времени вращения. Иными словами, она возрастает равномерно: за равные промежутки времени на одну и ту же величину. Формула (2.4) есть одно из уравнений кинематики равноускоренного вращения. Второе получается при подстановке (2.4) в (2.2):

.

Произвольную постоянную C ₂ можно определить из начального условия . Она тоже оказывается равной нулю, так что при равномерном вращении

. (2.5)

Это – второе уравнение кинематики равноускоренного вращения.

Оба уравнения кинематики (2.4) – (2.5) и условие следуют друг из друга, поэтому для того, что экспериментальным путём убедиться в том, что вращение маятника – равноускоренное, достаточно проверить любое из уравнений. Более простое для проверки – уравнение (2.4), означающее, что циклическая частота w прямо пропорциональна времени вращения. Графиком прямо пропорциональной зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат. Поэтому, если измерить частоту вращения маятника в разные моменты времени, а затем построить график экспериментальной зависимости w(t), то экспериментальные точки должны лечь на прямую линию[5]. Если это получится, значит, вращение маятника – равноускоренное.

Убедившись в том, что вращение маятника – равноускоренное и точки на графике экспериментальной зависимости w(t) лежат на прямой линии, можно измерить угловое ускорение маятника. Для этого достаточно взять на прямой любую точку – не экспериментальную, а любую точку, принадлежащую проведённой экспериментальной прямой, измерить её координаты (t; w) и затем, использовав формулу (2.4), определить значение e.

Теперь надо выбрать способ измерения времени и частоты.

Время можно мерить секундомером, то есть прямым способом.

Частоту придётся измерять косвенно. Исключив из системы уравнений (2.4) и (2.5) неизвестное угловое ускорение e, можно получить уравнение, связывающее w и j:

. (2.6)

Для измерения угла поворота j удобно связать его с количеством полных оборотов маятника N. Если N = 1, то . Если N = 2, то и так далее, так что и тогда

. (2.7)

Эта формула и определяет способ измерения циклической частоты. Правда, этот способ нельзя считать универсальным, он является правильным лишь при условии, что вращение маятника – равноускоренное. Итак, для измерения циклической частоты вращения маятника удобно выбирать такие моменты времени, в которые маятник совершил какое-то полное число оборотов. Подсчитав это число оборотов N и измерив время t, за которое совершены эти N оборотов, можно с помощью формулы (2.7) косвенно измерить значение w в момент времени t.

Задание

3.1. Исследовать зависимость циклической частоты вращения мятника Обербека w от его времени вращения t.

3.2. Если эксперименты подтвердят прямо пропорциональную зависимость w от t, то измерить угловое ускорение маятника e.