Бесконечно большие величины и их св-ва

б.б.в - величина для которой |X_n|®¥

(при x_n=1/n, n®0, то x_n®¥)

Св-ва:

-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в.

(1/¥=0; 1/0=¥)

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком)

есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в =

неопределенность

Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:

1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на

[a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е.

знаки f(a) и f(b) противоположны,

то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с,

что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2. Если ф-ция y=f(x)

непрерывна на [a,b],

то она ограничена на

этом промежутке.

3. Если ф-ция y=f(x)

непрерывна на [a,b],

то она достигает на этом отрезке min m

и max M (теорема Вейерштрасса).

в точке:

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х₀,

то их сумма, произведение, частное

(при j(х₀)¹0) явл-ся ф-циями,

непрерывными в х₀

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х₀, и f(x₀)>0,

то существует окрестность х₀, в которой f(x)>0

3. если y=f(U) непрерывна в U₀, а U=j(x)

непрерывна в U₀=j(x₀), то сложная ф-ция

y=f[j(x)] непрерывна в х₀.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Определение производной

И ее геометрический смысл.

1. n_cp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0

2. p_cp.=Dm/Dl, p_T=lim(Dm/Dl), где Dl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смысл производной - это скорость

изменения ф-ции при изменении

аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в

точке а называется предел отношения

приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) y=x², Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой

и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение

касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический смысл производной

заключается в том, что есть tg угла

наклона касательной, проведенной в точке x₀.

Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x),

то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению

производной ф-ции по промежуточному

аргументу и производной самого промежуточного

аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

 

Дифференцирование обратной ф-ции.

y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.

Для дифференцируемой ф-ции с производной,

не = 0, производная обратной ф-ции =

обратной величине производной данной

ф-ции, т.е. x_y`=1/y<sub>x</sub>`.

Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой

и правой части, учитывая, что предел

частного = частному пределов:

lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. y_x`=1/x_y

или f`(x)=1/j`(x)

Например:

Производные степенных и